奇偶性与单调性的综合（奇函数在对称区间上单调性相同）

模型初稿待审

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一句话 · 奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数相反；判断时把负半轴的 $x$ 转到已知区间，再看要不要翻转方向。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

我们刚学会了用奇偶性求值。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 例 1 $f$ 是奇函数，在 $[0, 1]$ 上递减
- 求 $f$ 在 $[- 1, 0]$ 上的单调性，并比较 $f (- 0.8)$ 与 $f (- 0.2)$
- 思路：把 $- x$ （正数）代进已知的 $[0, 1]$ ，再用 $f (- x) = - f (x)$ 搬回来
卡住了？展开这一段的讲解
看例子。f x 是奇函数，在零到一上递减。问负一到零上是什么情况，还要比较 f 负零点八和 f 负零点二。第一步，先用奇偶性把左边转到右边，负 x 落进零到一。
2第 9 段例题
- 设 $x \in [- 1, 0]$ ，则 $- x \in [0, 1]$
- $f$ 是奇函数： $f (x) = - f (- x)$
- $[0, 1]$ 上递减： $- x$ 越大， $f (- x)$ 越小
- 加负号方向翻转： $x$ 越大， $f (x) = - f (- x)$ 越小
- 所以 $f$ 在 $[- 1, 0]$ 上也递减
卡住了？展开这一段的讲解
具体的式子这样推。设 x 属于负一到零，那么负 x 就属于零到一。已知右边递减，所以 f 负 x 一大于 f 负 x 二。奇函数满足 f x 等于负的 f 负 x。代入得负的 f x 一大于负的 f x 二。两边乘负一，就是 f x 一小于 f x 二。所以负一到零上还是递减。
3第 10 段例题
- $f (- 0.8) = - f (0.8)$ ， $f (- 0.2) = - f (0.2)$
- $[0, 1]$ 上递减 $\Rightarrow f (0.2) > f (0.8)$
- 两边乘 $- 1$ ： $- f (0.2) < - f (0.8)$
- 即 $f (- 0.2) < f (- 0.8)$ $\Rightarrow f (- 0.8) > f (- 0.2)$ ✓
- 结论： $[- 1, 0]$ 上递减，与 $[0, 1]$ 上一致
卡住了？展开这一段的讲解
再验两个值。f 负零点八等于负的 f 零点八。右边在零点八处的值，比在零点二处小，所以 f 零点二更大。取相反数之后 f 负零点二反而更小。于是 f 负零点八大于 f 负零点二。x 越大函数值越小，正是递减。
4第 11 段例题
- 例 2 $h$ 是偶函数，在 $[0, 1]$ 上递减
- 设 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $0 < - x_{2} < - x_{1} \leq 1$
- $[0, 1]$ 上递减： $h (- x_{1}) > h (- x_{2})$
- 偶函数： $h (x_{1}) = h (- x_{1})$ ， $h (x_{2}) = h (- x_{2})$
- 代换得 $h (x_{1}) > h (x_{2})$ ： $[- 1, 0]$ 上递增，方向与右边相反
卡住了？展开这一段的讲解
例二换成偶函数，结论正好反过来。h 是偶函数，在零到一上递减。还是设 x 属于负一到零，负 x 属于零到一。右边递减，所以 f 负 x 一大于 f 负 x 二。偶函数左右函数值相等，直接代换，得到 f x 一大于 f x 二。x 越大函数值越大，负一到零上是递增。和右边正好相反。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把偶函数也当成「两边同增同减」（偶函数是方向相反的）
拿不对称的两个区间作比较（比如 $[-2,-1]$ 与 $[1,2]$ 会得到相反的方向）
用 $f(-1)<f(1)$ 这类跨对称点的比较来判断单调性（那不是单调性）
把「单调性相同」误解成「函数值相等」（那是奇偶性，不是单调性）
不检查定义域是否关于原点对称就套用结论

看完自测（3 题）

已知奇函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上递减，则它在 $[- 1, 0]$ 上的单调性是什么？
看答案与理由
答：在 $[- 1, 0]$ 上也递减。
为什么： 奇函数在对称区间上单调性相同， $[- 1, 0]$ 正是 $[0, 1]$ 的对称区间。也可以代 $f (x) = - f (- x)$ 验证： $x$ 变大时 $- x$ 变小、 $f (- x)$ 变大，取相反数后就变小。
已知偶函数 $h (x)$ 在 $[0, 1]$ 上递减，比较 $h (- 0.8)$ 与 $h (- 0.2)$ 的大小。
看答案与理由
答： $h (- 0.8) > h (- 0.2)$ 。
为什么： 偶函数 $h (- 0.8) = h (0.8)$ 、 $h (- 0.2) = h (0.2)$ ；而 $[0, 1]$ 上递减给出 $h (0.2) > h (0.8)$ ，所以 $h (- 0.8) > h (- 0.2)$ 。看出 $x$ 越大函数值越大，负区间上是递增。
奇函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 与 $(- \infty, 0)$ 上都递减，能说它在整个定义域上递减吗？
看答案与理由
答：不能。
为什么： 取 $- 1$ 与 $1$ ： $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ ，而 $x$ 从 $- 1$ 增大到 $1$ 时函数值反而升高，与递减矛盾。只有在分开的每一个区间上才单调，并集上不单调。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。