判断函数奇偶性的步骤（先看定义域，再算 f(−x)）

方法初稿待审

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一句话 · 判断奇偶性固定三步：先看定义域是否关于原点对称，再算 f(−x)，最后与 f(x)、−f(x) 比对；两条都对不上就是非奇非偶。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

奇函数与偶函数的定义（定义域必须关于原点对称）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看两条曲线。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例判断 $f (x) = x^{3} - x$ 的奇偶性
- 第一步：定义域 $D = R$ ，关于原点对称 ✓
卡住了？展开这一段的讲解
看这道题。判断 f x 等于 x 的三次方减 x，是不是奇函数或者偶函数。第一步先看定义域。这是一个多项式，定义域是全体实数。每个 x 都能配上一个负 x，定义域关于原点对称，第一关过了。
2第 8 段例题
- 第二步： $f (- x) = (- x)^{3} - (- x) = - x^{3} + x$
- $= - (x^{3} - x) = - f (x)$
- 第三步： $f (- x) = - f (x)$ → 对定义域内任意 $x$ 成立 → 奇函数
- 顺手核一遍： $f (- 2) = - 6 = - f (2)$ ， $f (- 2) \neq = f (2)$ ，所以它不是偶函数
卡住了？展开这一段的讲解
第二步，算 f 负 x。把负 x 代进去，三次方出来是负的 x 三次方。再减负 x 就变成加 x。所以 f 负 x 等于负 x 三次方加 x。提出一个负号，正好是负的 f x。
3第 9 段例题
- 例已知 $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} - x$ ，判断奇偶性
- 定义域 $(0, + \infty)$ 不关于原点对称 ✗
- 结论：既不是奇函数，也不是偶函数（不能只凭解析式好看就下结论）
卡住了？展开这一段的讲解
再看一个容易被忽略的类型。函数在 x 大于零时，f x 等于 x 的平方减 x。注意定义域只有正数那一半。正数取得到，它的相反数却不在定义域里。第一关就过不了，所以它既不是奇函数，也不是偶函数。想让它成为奇函数，必须把负半轴补上。
4第 10 段例题
- 例 $f (x) = {x^{2} + 2 x, - x^{2} + 2 x, x < 0 x \geq 0$
- 定义域 $R$ ✓；两段在 $x = 0$ 处都给出 $f (0) = 0$
- 验证： $x > 0$ 时 $f (- x) = x^{2} - 2 x = - (x^{2} - 2 x)$ （负半轴第一段的相反数）
- $\Rightarrow f (- x) = - f (x)$ → 奇函数
卡住了？展开这一段的讲解
再看一个分段函数。x 小于零时，是 x 的平方加二 x。x 大于等于零时，是负 x 的平方加二 x。先看定义域，两段合起来是全体实数，关于原点对称。再验证：左边那段的式子，正好是右边那段的相反数。所以对任意 x，f 负 x 都等于负的 f x，它是奇函数。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

不先看定义域就代 $-x$，把定义域不对称的函数当成奇函数或偶函数
把 $f(0)=0$ 当成奇函数的充要条件（$f(x)=x^2$ 也满足，却是偶函数）
只代一两个具体的 x 就下结论，忘了定义要求「定义域内任意 x」
分段函数求负半轴的解析式时，只写式子不写取值范围，端点含不含写错
不知道既奇又偶的情形（$f(x)=0$，定义域关于原点对称）

看完自测（3 题）

判断函数奇偶性的固定三步是什么？
看答案与理由
答：第一步看定义域是否关于原点对称；第二步算 $f (- x)$ ；第三步与 $f (x)$ 、 $- f (x)$ 比对。
为什么： 定义域不对称时后两步没有意义；定义域对称只是入场券，还要看 $f (- x)$ 与 $f (x)$ 、 $- f (x)$ 的关系才能定性。
函数 $f (x) = x^{2}$ （ $x \in R$ ）满足 $f (0) = 0$ ，它是奇函数吗？
看答案与理由
答：不是，它是偶函数。
为什么： $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ ，满足偶函数的定义； $f (0) = 0$ 只是 $x = 0$ 这一个点的取值，不能作为奇函数的判据。
什么情况下一个函数既奇又偶？
看答案与理由
答：定义域关于原点对称，且 $f (x) = 0$ 恒成立，即 $f (x) \equiv 0$ 。
为什么： 同时要求 $f (- x) = f (x)$ 与 $f (- x) = - f (x)$ ，两式相减得 $f (x) = 0$ ；例如 $f (x) = 0$ ， $x \in [- 2, 2]$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。