增函数与减函数的定义（区间上任意x₁<x₂）

概念初稿待审

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一句话 · 单调性是区间上的性质：先说清在哪一段，再看任意两点的函数值大小关系。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

函数的概念：非空数集上的对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先想一件你熟悉的事。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例证明 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ 在 $[1, + \infty)$ 上是减函数
- $f (x) = - (x - 1)^{2} + 1$ ，对称轴 $x = 1$ ，开口向下 → 形状上先有个预期
卡住了？展开这一段的讲解
光看懂定义不够，考试要你动手证明。看这道题。证明 f x 等于负 x 方加二 x，在 x 大于等于一时是减函数。先看清楚，题目已经限定了区间，所以不用讨论左边那一半。
2第 8 段例题
- 取值：任取 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$
- 作差： $f (x_{1}) - f (x_{2}) = (- x_{1}^{2} + 2 x_{1}) - (- x_{2}^{2} + 2 x_{2})$
卡住了？展开这一段的讲解
证明单调性只有一套标准动作，五个字：取值、作差、变形、定号、结论。第一步取值。在这一段上任意取 x1 和 x2，并且规定 x1 小于 x2。注意，是任意取，不能挑特殊的数。第二步作差，把 f x1 减 f x2 写出来。
3第 9 段例题
- 变形： $= - (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + 2 (x_{1} - x_{2}) = (x_{1} - x_{2}) (2 - x_{1} - x_{2})$
- 定号： $x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{1} - x_{2} < 0$
- $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty) \Rightarrow x_{1} + x_{2} > 2 \Rightarrow 2 - x_{1} - x_{2} < 0$
- $\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0$
卡住了？展开这一段的讲解
第三步变形，把差整理成能看出正负的样子。前两项提公因式 x1 减 x2。后两项也是 x1 减 x2。合起来就是 x1 减 x2，乘以二减 x1 减 x2。第四步定号。因为 x1 比 x2 小，第一个因式是负的。又因为两个数都不小于一，它们的和大于二，所以第二个因式也是负的。负负得正，整个差大于零。
4第 10 段例题
- 结论： $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，由定义知 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上是减函数
- 五个字背下来：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论
卡住了？展开这一段的讲解
最后一步结论。差大于零，说明 f x1 大于 f x2。回到定义：x1 小于 x2 的时候，函数值反而更大，这就是减函数。所以 f x 在 x 大于等于一上是减函数。别忘了最后把这句结论写出来，很多人算完就停了。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把定义里的「任意」当成「存在」（举两个特殊点就下结论）
忘记写单调区间，只说「是增函数」
多个单调区间之间用并集符号 ∪ 连接
证明题只算不作答，缺最后一句结论

看完自测（3 题）

「f(x) 在区间 D 上为增函数」的定义中， $x_{1}, x_{2}$ 的取法应该是？
看答案与理由
答： D 上任取两个数，且 x₁<x₂
为什么： 定义要求「任意」，取特殊值验证不能代替证明。
函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调减区间怎么表述？
看答案与理由
答： (-∞,0) 和 (0,+∞) 两个区间分别递减，不能用 ∪ 连接
为什么： 用并集连接会把两个区间当成一段，出现 x₁=-1<x₂=1 但 f(x₁)<f(x₂) 的反例。
用定义证明单调性的五个步骤是？
看答案与理由
答：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论
为什么： 缺任何一步都会扣过程分，尤其「结论」一句最容易漏。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。