利用奇偶性求解析式或求值

方法初稿待审

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一句话 · 利用奇偶性求值或求解析式，核心是「负区间转到正区间」：奇函数加负号，偶函数直接换，写整段解析式时取值范围要跟着改。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

判断函数奇偶性的步骤（先看定义域，再算 f(−x)）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 6 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

想象一下这张考卷。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例 1 $f$ 是奇函数， $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，求 $f (- 1)$
- 负区间 $\to$ 正区间： $f (- 1) = - f (1) = - 3$
卡住了？展开这一段的讲解
看这道求值的题。f x 是奇函数，定义域是全体实数。x 大于零时，f x 等于 x 的平方加二 x。要求 f 负一。第一步先看，负一在负半轴上，题目没给这半边的解析式。别慌，用奇函数的性质把它转到正半轴：f 负一等于负的 f 一。
2第 8 段例题
- $f (1) = 1^{2} + 2 \times 1 = 3$ $\Rightarrow f (- 1) = - f (1) = - 3$
- $f (2) = 2^{2} + 2 \times 2 = 8$ $\Rightarrow f (- 2) = - f (2) = - 8$
- 答案： $f (- 1) = - 3$ （负半轴的值由正半轴算出）
卡住了？展开这一段的讲解
下一步，把正数代进去。f 一等于一的平方加二乘一，等于三。所以 f 负一等于负三。图上这两个点一上一下，正中间就是原点。再用 f 负二核一遍：f 二等于四加四，等于八，所以 f 负二等于负八。结果一致。
3第 9 段例题
- 例 2 $f$ 是偶函数， $x \geq 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，求 $x < 0$ 时的解析式
- 设 $x < 0$ ，则 $- x > 0$ ： $f (- x) = (- x)^{2} - 2 (- x) = x^{2} + 2 x$
- 偶函数： $f (x) = f (- x) = x^{2} + 2 x$
卡住了？展开这一段的讲解
再看一道求解析式的题。f x 是偶函数，x 大于等于零时，f x 等于 x 的平方减二 x。要写出 x 小于零时的解析式。思路还是一样的：把负区间转到正区间。取 x 小于零，那么负 x 大于零，可以代进已知式子。
4第 10 段例题
- $f (x) = {x^{2} + 2 x, x^{2} - 2 x, x < 0 x \geq 0$
- 范围与式子严格对应； $x = 0$ 处两段都给出 $0$
- 验算： $f (- 1) = - 1 = f (1)$ ✓； $f (- 3) = 3 = f (3)$ ✓
卡住了？展开这一段的讲解
最后把整段写出来。x 小于零时，用刚才那段：x 的平方加二 x。x 大于等于零时，用题目给的：x 的平方减二 x。注意分段的取值范围跟式子一一对应，别写反。x 等于零代进去，两边都是零，这一点不用单独讨论。再用 f 负一等于 f 一检查一下，都是负一，对得上。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

奇函数求值时代成 $f(-a)=f(a)$，忘了外面要加负号
写出 $x<0$ 的解析式却不写 $x<0$ 这个范围，答案不完整
分段写整段解析式时取值范围写反（把 $x<0$ 的式子挂在 $x>0$ 上）
奇函数忘记 $f(0)=0$，或把偶函数的 $f(0)$ 也强行写成 $0$
只在 $x>0$ 上验算，不回头用对称性核一遍负数

看完自测（3 题）

已知 $f (x)$ 是奇函数，且 $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，求 $f (- 1)$ 。
看答案与理由
答： $f (- 1) = - f (1) = - (1 + 2) = - 3$ 。
为什么： 负一在负半轴，题目没给这半边的解析式；用奇函数的性质把它转到正半轴，再代已知式子，最后补上负号。
已知 $f (x)$ 是偶函数， $x \geq 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，写出 $x < 0$ 时的解析式。
看答案与理由
答： $x < 0$ 时 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 。
为什么： 设 $x < 0$ ，则 $- x > 0$ ，代已知式子得 $f (- x) = x^{2} + 2 x$ ；偶函数满足 $f (x) = f (- x)$ ，所以负区间上就是这个式子。
已知奇函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有定义， $f (0)$ 等于多少？
看答案与理由
答： $f (0) = 0$ 。
为什么： 把 $x = 0$ 代进 $f (- x) = - f (x)$ ，得 $f (0) = - f (0)$ ，所以 $f (0) = 0$ 。这一点必须单独交代，不能省。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。