奇函数与偶函数的定义（定义域必须关于原点对称）
概念初稿待审bx1-c5-s4-k1
一句话 · 奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再比较 f(−x) 与 f(x)：相等为偶函数，互为相反数为奇函数。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
先看一个现象。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
例 判断 的奇偶性
第一步：定义域 ，关于原点对称 ✓
第二步：算
卡住了？展开这一段的讲解
动手做一道。判断 f x 等于 x 的三次方减 x 的奇偶性。第一步永远是定义域。这是个整式，任何实数都能代。所以定义域是全体实数，关于原点对称，前提过了。第二步，算 f 负 x。
- 2第 8 段例题
由定义知 是奇函数
检验：，，确实互为相反数
卡住了？展开这一段的讲解
算出来的式子和原式比一比。负 x 三次方加 x，把负号提出来，括号里正好是 x 三次方减 x。也就是负的 f x。所以 f 负 x 等于负 f x，它是奇函数。
- 3第 9 段例题
图象上任意点 的对应点 仍在图象上
图象关于原点成中心对称
卡住了？展开这一段的讲解
再回到图上确认一遍。这个图象上任意取一点，横纵坐标都取相反数，得到的点仍然在图象上。绕原点转一百八十度，图象跟原来完全重合，这就是奇函数的图象特征。
- 4第 10 段例题
，：定义域不关于原点对称
直接判定：非奇非偶，不必再算
注意： 是自身对称点，但一个点补不齐整段
卡住了？展开这一段的讲解
换一个来试。判断 f x 等于 x 平方，x 大于等于零、小于等于二。第一步看定义域，从零到二，左边缺了，不对称，直接判非奇非偶。有同学想把 x 等于零代进去，看 f 零等于多少。零的相反数确实是零自己，而这个零也在定义域里。可这只能说明一个点，救不了整段定义域。
③章节训练
第5章 函数概念与性质 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 不先看定义域就代 f(−x)，对不对称的定义域也下结论
- 把「定义域关于原点对称」当成可有可无的附加条件
- 把 f(0)=0 当成奇函数的充要条件（x² 就给出反例）
- 只代一个 x 的值就断定是奇函数或偶函数
看完自测（3 题）
判断函数奇偶性的第一步是什么？为什么不能先算 ？
看答案与理由
答： 先看定义域是否关于原点对称，不对称就直接判非奇非偶。
为什么： 定义要求对定义域内任意 x 都能写出 f(−x)，定义域不对称时这个式子对某些点根本没意义，算了也白算。
函数 ， 是偶函数吗？
看答案与理由
答： 不是，它既不是奇函数也不是偶函数。
为什么： −2 不在定义域内，定义里「对任意 x 都有 f(−x)=f(x)」无从检验，前提不成立。
已知 在 处有定义且 ，能否断定它是奇函数？
看答案与理由
答： 不能。 就满足 f(0)=0，但它是偶函数。
为什么： 奇函数要求对定义域内任意 x 都有 f(−x)=−f(x)，只看一个点远远不够。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。