函数的三要素：定义域、值域、对应关系

概念AI 交叉复核 · 非教师审核

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一句话 · 函数的三要素是定义域、对应关系和值域：定义域与对应关系先定，值域由它们共同决定。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

函数的概念：非空数集上的对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 6 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看两个字：y 等于 x 的平方。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，定义域为 $[0, 3]$ ，求值域
- 第一步：把定义域圈出来 —— 只看 $[0, 3]$ 这一段图象
卡住了？展开这一段的讲解
下一道题，考定义域优先。已知 f x 等于 x 平方减二 x，定义域是零到三。求它的值域。读题的时候，先把定义域圈出来。数轴上零到三这一段，两端都是实心的，说明零和三都取得到。题目框定了零到三，右边的图像就不用管了。
2第 8 段例题
- 配方： $f (x) = x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$
- 开口向上，对称轴 $x = 1$
- 对称轴落在定义域 $[0, 3]$ 内 → 最小值在顶点取到
- 最大值只能到端点里去找
卡住了？展开这一段的讲解
求值域怎么下手？先把式子配方：f x 等于 x 减一的平方再减一。这样就能看出，这是一条开口向上的抛物线，对称轴是 x 等于一。接着问一句：对称轴在不在定义域里？一落在零到三里面，所以在顶点这里，函数取到最小值。
3第 9 段例题
- 顶点： $f (1) = (1 - 1)^{2} - 1 = - 1$
- 端点： $f (0) = 0$ ， $f (3) = 9 - 6 = 3$
- 比较三个值： $- 1 < 0 < 3$
卡住了？展开这一段的讲解
现在把三个关键的高度都算出来。顶点处 f 一等于负一，这是最小值。两个端点：f 零等于零，f 三等于九减六等于三。我画红色虚线，把这三个高度都落到 y 轴上，比一比。负一最小，三最大。
4第 10 段例题
- $f (x) = (x - 1)^{2} - 1$ ， $x \in [0, 3]$
- 最小值 $f (1) = - 1$ ，最大值 $f (3) = 3$
- 值域为 $[- 1, 3]$
- 写成集合： ${y ∣ - 1 \leq y \leq 3}$
卡住了？展开这一段的讲解
把过程写完整。配方，得顶点和对称轴。对称轴在定义域内，所以最小值是顶点的负一。最大值在端点处比较：f 零是零，f 三是三，取大的那个。所以值域是从负一到三的闭区间。写成集合就是 y 大于等于负一、小于等于三。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

只写解析式不写定义域，就以为函数已经确定
求值域时只配方看顶点，忘记定义域把 $x$ 限制在哪一段
把 $f(a)$ 当成函数，或把 $f(x)$ 当成一个数
求 $f(x+1)$ 的定义域时直接抄 $f(x)$ 的定义域，忘记括号里整体范围一致
把值域写成 $[-1,+\infty)$ 这类没有上界的形式，忽略定义域端点的作用

看完自测（3 题）

函数的三要素是什么？哪一个必须先定？
看答案与理由
答：定义域、对应关系、值域；定义域和对应关系先定，值域由它们共同决定。
为什么： 同一个解析式配上不同的定义域就是不同的函数，所以定义域优先。
$f (x)$ 与 $f (a)$ 有什么区别？
看答案与理由
答： $f (x)$ 是以 $x$ 为自变量的函数； $f (a)$ 是把常数 $a$ 代入后得到的一个数。
为什么： 把「函数」与「函数值」分开，才看得懂 $f (x + 1)$ 这类记号。
已知 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ， $f (x + 1)$ 的定义域是什么？
看答案与理由
答：由 $0 \leq x + 1 \leq 2$ 得 $- 1 \leq x \leq 1$ ，定义域为 $[- 1, 1]$ 。
为什么： 同一个 $f$ ，括号里整体的取值范围一致，变的只是 $x$ 的范围。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。