常见函数的单调性（一次、二次、反比例、指数、对数、对勾函数）

模型初稿待审

bx1-c5-s3-k3

一句话 · 常见函数的单调性只看一个「分界点」：一次看 k，二次看对称轴，反比例看 x=0，指数与对数看底数与 1，对勾函数看 √a。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 7 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

前面你已经学过增函数和减函数。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例 1 判断 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性
- 对勾函数 $y = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 的分界点： $x = a$
- 这里 $a = 1$ ，分界点 $x = 1$ ： $(0, 1]$ 上递减， $[1, + \infty)$ 上递增
- 最低点 $(1, 2)$ ： $f (1) = 1 + 1 = 2$
卡住了？展开这一段的讲解
第一道例题。判断 f x 等于 x 加 x 分之一，在零到正无穷上的单调性。先找分界点。对勾函数 y 等于 x 加 x 分之 a，拐点在根号 a。这里 a 等于一，所以拐点是 x 等于一。于是区间被切成两段。零到一是减的，一到正无穷是增的。图上绿色的这一段，就是从最低点开始一路上升。
2第 8 段例题
- 例 2 比较 $a = 2^{0.3}$ ， $b = 0. 3^{2}$ ， $c = lo g_{2} 0.3$ 的大小
- 中间量法：先与 $0$ 、 $1$ 比，把三个数分别归段
- $a = 2^{0.3} > 2^{0} = 1$ （ $y = 2^{x}$ 在 $R$ 上递增）
- $0 < b = 0. 3^{2} = 0.09 < 1$
- $c = lo g_{2} 0.3 < lo g_{2} 1 = 0$ （ $y = lo g_{2} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上递增）
- $∴ a > b > c$
卡住了？展开这一段的讲解
第二道例题，比较大小。三个数：二的零点三次方，零点三的平方，log 以二为底零点三。它们底不同、形不同，直接算很麻烦。那就找中间量。先拿零和一当标尺。二的零点三次方大于一。零点三的平方在零和一之间。log 以二为底零点三小于零。大小顺序就出来了。图上我画了两条曲线。一条是 y 等于二的 x 次方。另一条是 y 等于 log 以二为底 x。一个在一以上，一个在零以下。
3第 9 段例题
- 例 3 已知 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $[1, + \infty)$ 上递增，求 $a$ 的取值范围
- 配方： $f (x) = (x - a)^{2} + 3 - a^{2}$ ，对称轴 $x = a$ ，开口向上
- 在 $[1, + \infty)$ 上递增 $\Leftrightarrow$ 对称轴在区间左侧： $a \leq 1$
- $∴ a$ 的取值范围是 $(- \infty, 1]$
卡住了？展开这一段的讲解
第三道例题，反过来用。已知 f x 等于 x 的平方减 2ax 加 3。它在 1 到正无穷上递增，求 a 的范围。二次函数看对称轴。对称轴是 x 等于 a。开口向上，在对称轴右边才是增的。要让整个 1 到正无穷都落在右边。所以对称轴必须落在 1 的左边，或者正好在 1。也就是 a 小于等于 1。画面上两条抛物线，绿色的满足要求。灰色的对称轴偏右，不行。
4第 10 段例题
- 例 4 解不等式 $lo g_{2} (x + 1) < lo g_{2} (3 - x)$
- 定义域优先： $x + 1 > 0$ 且 $3 - x > 0 \Rightarrow - 1 < x < 3$
- $y = lo g_{2} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上递增，故 $x + 1 < 3 - x \Rightarrow x < 1$
- 取交集： $- 1 < x < 1$ ，即解集为 $(- 1, 1)$
卡住了？展开这一段的讲解
第四道例题，用单调性解不等式。解 log 以二为底 x 加一，小于 log 以二为底三减 x。看到对数不等式，先别急着去掉 log。第一步永远是定义域。真数都大于零，得到 x 大于负一，且 x 小于三。底数二大于一，函数递增。所以真数之间的大小关系，可以直接搬下来。x 加一小于三减 x，解得 x 小于一。两段一取交集，答案是负一到一。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把反比例函数说成在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递减 —— 两支必须分开写
指数、对数函数不比较底数 $a$ 与 $1$ 的大小就判方向，方向刚好会反
二次函数不看对称轴与给定区间的位置关系，直接说它在整个定义域上单调
对勾函数记错分界点，把 $(0,\sqrt{a}]$ 当成增区间、$[\sqrt{a},+\infty)$ 当成减区间
解对数不等式时先去对数、后补定义域，导致解集比正确答案大

看完自测（3 题）

$y = - 3 x + 2$ 在 $R$ 上是增函数还是减函数？为什么？
看答案与理由
答：减函数。因为 $k = - 3 < 0$ ，而一次函数 $y = k x + b$ 的单调性只由 $k$ 的符号决定，与 $b$ 无关。
为什么： 一次函数的图象是一条直线，方向从头到尾不变，所以一个字母 $k$ 就定死了。
$y = \frac{1}{x}$ 在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上是减函数吗？
看答案与理由
答：不是。取 $x_{1} = - 1 < x_{2} = 1$ ，但 $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ ，与减函数的定义矛盾；只能说它在 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 上分别递减。
为什么： 两支被 $x = 0$ 断开，区间之间不能取并集，必须分开叙述。
$y = x + \frac{9}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调区间怎么分？
看答案与理由
答： $a = 9$ ，分界点 $x = 9 = 3$ ：在 $(0, 3]$ 上递减，在 $[3, + \infty)$ 上递增。
为什么： 对勾函数的分界点永远是 $a$ ，先算分界点，再分区间说方向。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。