复合函数单调性（同增异减）

方法初稿待审

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一句话 · 复合函数的单调性看内外层方向：同向则增，反向则减；但必须先求定义域，再谈单调性。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

增函数与减函数的定义（区间上任意x₁<x₂）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

回顾： $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ 就是增函数；不等号反向就是减函数

讲稿

上一节我们定义了增函数和减函数。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例求 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x)$ 的单调区间
- 第 1 步（定义域优先）：真数大于零，即 $x^{2} - 2 x > 0$
- $x (x - 2) > 0 \Rightarrow x < 0$ 或 $x > 2$
- 定义域： $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ ；单调区间只能在这里面找
卡住了？展开这一段的讲解
来看一道例题。求 y 等于 log 以二分之一为底，x 方减 2 x 的单调区间。第一步不是判断单调性，而是求定义域。真数必须大于零，所以 x 方减 2 x 大于零。解得 x 小于零，或者 x 大于 2。图上抛物线只有这两段在外层定义域里。
2第 8 段例题
- 第 2 步（分解）：内层 $u = x^{2} - 2 x$ ，外层 $y = lo g_{\frac{1}{2}} u$
- 内层：在 $(- \infty, 0)$ 上递减，在 $(2, + \infty)$ 上递增
- 外层： $y = lo g_{\frac{1}{2}} u$ 在 $(0, + \infty)$ 上递减（底数 $\frac{1}{2} < 1$ ）
- 同增异减： $(- \infty, 0)$ 上「减 + 减 $\Rightarrow$ 增」； $(2, + \infty)$ 上「增 + 减 $\Rightarrow$ 减」
卡住了？展开这一段的讲解
定义域清楚了，再判断单调性。内层 u 等于 x 方减 2 x。它在负无穷到零上递减，在 2 到正无穷上递增。外层是 log 以二分之一为底 u，底数小于一，所以是减函数。负无穷到零上，内减外减，同向，复合后是增的。2 到正无穷上，内增外减，反向，复合后是减的。
3第 9 段例题
- 第 3 步（结论）：增区间 $(- \infty, 0)$ ，减区间 $(2, + \infty)$
- 端点 $x = 0$ 、 $x = 2$ 不在定义域内 $\Rightarrow$ 单调区间都写成开区间
- ✗ 写成「在 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ 上递增」—— 并集上并不单调
- ✓ 正确说法：在 $(- \infty, 0)$ 上递增，在 $(2, + \infty)$ 上递减
卡住了？展开这一段的讲解
把结论写完整。这个函数的增区间是负无穷到零，减区间是 2 到正无穷。注意端点，零和二都不能取，因为它们本来就不在定义域里。还要注意，两个单调区间必须分开写，中间用逗号或者「和」连接。不能写成并集，并集上并不单调。
4第 10 段例题
- 换外层①： $y = 2^{x^{2} - 2 x}$ —— 外层 $2^{u}$ 递增，且对一切 $u$ 有意义
- $\Rightarrow$ 减区间 $(- \infty, 1]$ ，增区间 $[1, + \infty)$ （处处有定义，端点可含）
- 换外层②： $y = x^{2} - 2 x$ —— 外层 $u$ 递增，但要求 $u \geq 0$
- $\Rightarrow$ 减区间 $(- \infty, 0]$ ，增区间 $[2, + \infty)$
- 外层换成 $lo g_{\frac{1}{2}} u$ （递减）时，结论整个反过来
卡住了？展开这一段的讲解
同一个内层，换外层会怎样？外层换成 2 的 u 次方，它是增函数，而且对一切 u 都有意义。所以复合后的单调性和内层完全一致。减区间是负无穷到一，增区间是一到正无穷。外层换成根号 u 也是增函数，但要求 u 大于等于零。定义域就缩到 x 小于等于零，或者 x 大于等于 2。图上这两条是外层，一条往上走，一条往下走。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

先判单调性、后补定义域：外层是 log 时真数必须大于零，外层是根号时被开方数必须非负
把内层的单调区间直接当成复合函数的单调区间，忘掉「异减」要把方向反过来
把两个单调区间用「∪」连起来写成一段，其实并集上并不单调
端点乱取：定义域是开的，单调区间也必须写开（如 (−∞,0) 而不是 (−∞,0]）
内层在给定区间上不单调（对称轴落在区间内部）时，还整体下结论

看完自测（3 题）

复合函数 $y = f (g (x))$ 的单调性由什么决定？
看答案与理由
答：由内层 $u = g (x)$ 与外层 $y = f (u)$ 在相应区间上的单调性共同决定：方向相同则复合后递增，方向相反则复合后递减。
为什么： 这就是「同增异减」，但用之前必须先确认外层在内层的取值范围内有定义。
求 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x)$ 的单调区间时，为什么第一步必须先求定义域？
看答案与理由
答：因为对数的真数必须大于零， $x^{2} - 2 x > 0$ 解得 $x < 0$ 或 $x > 2$ 。单调区间只能在这个范围内找， $x = 0$ 、 $x = 2$ 处函数无定义。
为什么： 定义域优先是复合函数单调性的第一前提，漏掉就会把端点写错、把区间开闭写错。
$y = x^{2} - 2 x$ 的单调递减区间是什么？为什么不是 $(- \infty, 1]$ ？
看答案与理由
答： $(- \infty, 0]$ 。因为函数只在 $x \leq 0$ 或 $x \geq 2$ 时有定义， $(- \infty, 1]$ 中 $0 < x < 2$ 那一段根本没有图象。
为什么： 外层的定义域（ $u \geq 0$ ）会把内层的单调区间切掉一部分，这正是前提②的作用。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。