易错：多个单调区间不能用“∪”连接；定义域优先

看这道题。求 f x 等于 x 减一分之二 x 加一的单调区间。第一步，定义域优先。分母不能为零，所以 x 不等于一。定义域被一分成两段。第二步，分离常数。分子写成二倍的 x 减一，再加三。所以 f x 等于二加上 x 减一分之三。第三步，分段判断。在负无穷到一上，随着 x 增大，x 减一分之三在变小，所以递减。在一到正无穷上同理，也是递减。所以单调递减区间是负无穷到一，和一到正无穷。没有递增区间。

第二题，抽象函数。f 的定义域是负一到一。对任意两个不同的自变量，函数值之差与自变量之差同号。这说明 f 在定义域上单调递增。要解 f x 大于 f 二 x 减一。递增脱去 f，得到 x 大于二 x 减一。解得 x 小于一。别急着写答案。还要保证两个自变量都落在定义域里。x 在负一到一之间。二 x 减一也要在负一到一之间，解出 x 在零到一之间。三个条件取交集，解集是零到一，左闭右开。

第三题，含参数，还要恒成立。f x 等于 x 加二分之 x 加 a，在负二到正无穷上递增。先把常数分离出来。分子写成 x 加二，再加上 a 减二。所以 f x 等于一加上 x 加二分之 a 减二。x 加二分之一在负二到正无穷上递减。要让整体递增，系数 a 减二必须小于零。也就是 a 小于二。再看第二层。x 在零到一时，f 递增，所以最小值是 f 零，等于二分之 a。恒成立意味着 m 不超过最小值。所以 m 的最大值就是二分之 a。它等于负一，解得 a 等于负二。回代检验，负二小于二，满足递增。

最后练一个，把今天的规矩用全。求 f x 等于 x 加 x 分之一的单调区间。定义域是 x 不等于零。这个函数你熟，它在零到一上递减，在一到正无穷上递增。左边那一支呢？它是奇函数，图象关于原点对称。所以在负无穷到负一上递增，在负一到零上递减。四个区间，一个都不能合并。递减区间是负一到零，和零到一。递增区间是负无穷到负一，和一到正无穷。写成并集就全错了。