用定义证明单调性（取值—作差—变形—定号—结论）

方法初稿待审

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一句话 · 证明单调性就是把定义拆成五个动作：任取、作差、变形、定号、结论，一步都不能少。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

增函数与减函数的定义（区间上任意x₁<x₂）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 6 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先问你一个问题。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例证明 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上是增函数
- 看清三件事：函数是什么、区间是哪一段、要证增还是减
- $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 是对勾函数，在 $x = 1$ 处取到最小值 $2$
卡住了？展开这一段的讲解
来看一道典型题。证明 f x 等于 x 加 x 分之一，在 x 大于等于一时是增函数。先看清三件事。函数是 x 加 x 分之一，就是对勾函数。区间是一到正无穷，不是整个定义域。要证的是增函数。图上我把要证的那一段画成绿色。
2第 8 段例题
- ① 取值：任取 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$
- ② 作差：
- $f (x_{1}) - f (x_{2}) = (x_{1} + \frac{1}{x _{1}}) - (x_{2} + \frac{1}{x _{2}})$
卡住了？展开这一段的讲解
第一步取值。任取 x1 和 x2，都在一到正无穷上，并且 x1 小于 x2。这句话必须写，它对应定义里的任取。第二步作差。把 f x1 减 f x2 代进去。就是 x1 加 x1 分之一，减去 x2 加 x2 分之一。红色虚线还是投影，先把这两个点的位置定下来。
3第 9 段例题
- ③ 变形：
- $= (x_{1} - x_{2}) + (\frac{1}{x _{1}} - \frac{1}{x _{2}}) = (x_{1} - x_{2}) + \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{1} x _{2}}$
- $= (x_{1} - x_{2}) (1 - \frac{1}{x _{1} x _{2}}) = \frac{( x _{1} - x _{2} ) ( x _{1} x _{2} - 1 )}{x _{1} x _{2}}$
- ④ 定号： $x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{1} - x_{2} < 0$ ； $x_{1} \geq 1, x_{2} > 1 \Rightarrow x_{1} x_{2} - 1 > 0$ ； $x_{1} x_{2} > 0$
卡住了？展开这一段的讲解
第三步变形。前面两项是 x1 减 x2。后面两项通分，分母 x1 乘 x2，分子 x2 减 x1。再提出公因式 x1 减 x2，括号里剩一减 x1 x2 分之一。整理成 x1 减 x2，乘以 x1 x2 分之 x1 x2 减一。第四步定号。x1 小于 x2，所以第一个因式是负的。两个数都不小于一，乘积大于一，所以第二个因式是正的。
4第 10 段例题
- ⑤ 结论： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ ，即 $f (x_{1}) < f (x_{2})$
- $∴ f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上是增函数
卡住了？展开这一段的讲解
第五步结论。看清楚，是一负一正，所以差小于零。于是 f x1 小于 f x2。回到定义，x1 小于 x2 时函数值也小，这就是增函数。所以 f x 在一到正无穷上是增函数。最后这句话千万别漏，很多人算完就停笔，白白丢分。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

不写「任取」就代具体数字，把验证当成证明
作差后不因式分解，直接断言符号
算出符号就收笔，漏掉最后的结论句
变形方向跑偏：不是越算越复杂，而是要整理成能看出正负的因式
区间的取值范围用错，导致 x₁x₂−1 的符号判断错

看完自测（3 题）

用定义证明单调性的五个步骤是什么？
看答案与理由
答：取值（任取 x₁<x₂）→ 作差 → 变形 → 定号 → 结论
为什么： 缺任何一步都会扣过程分，尤其是最后的结论句最容易漏。
为什么取两个特殊值验证不能代替证明？
看答案与理由
答：定义要求「任意」两点都成立，取特殊值只能说明「存在」一对点满足。反例： $f (x) = - x^{2} + 2 x$ 在 $[0, 2]$ 上， $f (0) < f (1)$ 但 $f (1) > f (2)$ 。
为什么： 「任意」和「存在」是两回事，这是定义里最容易被忽略的两个字。
证明 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上递增时，作差后要整理成什么形式？
看答案与理由
答： $f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{( x _{1} - x _{2} ) ( x _{1} x _{2} - 1 )}{x _{1} x _{2}}$
为什么： 整理成因式相乘才能逐项定号，这一步就是五步法里的「变形」。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。