单调性求最值与值域

方法初稿待审

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一句话 · 闭区间上先看转折点在不在区间内，再定最值：单调就在端点取，含参就按位置分三类。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

增函数与减函数的定义（区间上任意x₁<x₂）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

上一节：用定义证明单调性

讲稿

上一节你已经会用定义判断单调性了。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值与最小值
- ① 配方： $f (x) = (x - 1)^{2} + 2$ ，对称轴 $x = 1$ ，顶点 $(1, 2)$
- ② 判断位置： $1 \in [0, 3]$ ⇒ 在 $[0, 1]$ 上递减、在 $[1, 3]$ 上递增
- ③ 最小值： $f (1) = 1 - 2 + 3 = 2$
- ④ 端点比较： $f (0) = 3$ ， $f (3) = 9 - 6 + 3 = 6$ ⇒ 最大值 $f (3) = 6$
- ⑤ 值域： $[2, 6]$
卡住了？展开这一段的讲解
来看这道题。求 f x 等于 x 方减二 x 加三，在零到三上的最大值和最小值。第一步配方。得到 x 减一的平方再加二。对称轴是 x 等于一，顶点是一二。它落在零到三里吗？在。所以最小值就是 f 一，等于二。最大值只可能在端点产生。f 零等于三，f 三等于六。所以最大值是六。值域就是从二到六。
2第 8 段例题
- 热身 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $[1, 4]$ 上递减： $f (1) = 1$ ， $f (4) = \frac{1}{4}$ ⇒ 值域 $[\frac{1}{4}, 1]$
- 例求 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ （ $x \in [0, 2]$ ）的值域
- ① 分离常数： $f (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}$
- ② $x \in [0, 2]$ 时 $\frac{1}{x + 1}$ 递减 ⇒ $f (x)$ 递增
- ③ $f (0) = 2 - 1 = 1$ ， $f (2) = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
- ④ 两端都能取到 ⇒ 值域 $[1, \frac{5}{3}]$
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第二类，反比例型。先热身。f x 等于 x 分之一，在一到四上递减，所以值域是四分之一到一。再看这道。f x 等于 x 加一分之二 x 加一。分子分母都有 x，先分离常数。把分子写成二倍的 x 加一，再减一。于是 f x 等于二减去 x 加一分之一。在零到二上，x 加一递增，x 加一分之一就递减。减一个递减的量，结果递增。所以 f x 在零到二上递增。f 零等于一，f 二等于二减三分之一，也就是三分之五。两端都能取到，值域是一到三分之五。
3第 9 段例题
- 例求 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2$ 在 $[1, 2]$ 上的最小值 $g (a)$
- 配方： $f (x) = (x - a)^{2} + 2 - a^{2}$ ，对称轴 $x = a$
- ① $a < 1$ ： $[1, 2]$ 在轴右侧 ⇒ 递增 ⇒ $g (a) = f (1) = 3 - 2 a$
- ② $1 \leq a \leq 2$ ：轴在区间内 ⇒ $g (a) = f (a) = 2 - a^{2}$
- ③ $a > 2$ ： $[1, 2]$ 在轴左侧 ⇒ 递减 ⇒ $g (a) = f (2) = 6 - 4 a$
- 检验分界点： $a = 1$ 时 $3 - 2 a = 1 = 2 - a^{2}$ ； $a = 2$ 时 $2 - a^{2} = - 2 = 6 - 4 a$ ，衔接一致
- $g (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - 2 a, 2 - a^{2}, 6 - 4 a, a < 1 1 \leq a \leq 2 a > 2$
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第三类，带参数的二次函数。f x 等于 x 方减二 a x 加二。配方得 x 减 a 的平方，再加二减 a 方。对称轴是 x 等于 a，可它在哪不确定。所以要分三种情况。轴在区间左边，函数递增，最小值在左端点。轴在区间里面，最小值就是顶点。轴在区间右边，函数递减，最小值在右端点。三种情况对应三个式子。a 小于一时是三减二 a。a 在一到二之间是二减 a 方。a 大于二时是六减四 a。别忘了检查分界点，两段在 a 等于一和 a 等于二处正好接上。
4第 10 段例题
- 例 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 $10$ ，求 $a$
- 已知：在 $(0, a]$ 上递减，在 $[a, + \infty)$ 上递增，转折点横坐标为 $a$
- ① $0 < a < 1$ ：最小值 $f (1) = 1 + a = 10$ ⇒ $a = 9$ ，与 $a < 1$ 矛盾，舍去
- ② $1 \leq a \leq 16$ ：最小值 $f (a) = 2 a = 10$ ⇒ $a = 25$ ，与 $a \leq 16$ 矛盾，舍去
- ③ $a > 16$ ：最小值 $f (4) = 4 + \frac{a}{4} = 10$ ⇒ $a = 24$ ，满足 $a > 16$
- 检验： $24 = 26 \approx 4.9 > 4$ ， $f (4) = 4 + 6 = 10$ ⇒ $a = 24$
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最后一类，对勾函数。f x 等于 x 加 x 分之 a，a 大于零。它先减后增，转折点的横坐标是根号 a。现在它在 1 到 4 上的最小值是十，求 a。转折点在哪，照样分三种。根号 a 小于一时，最小值是 f 一，等于一加 a。令它等于十，a 等于九，可九不小于一，舍去。根号 a 在一到四之间时，最小值是二倍根号 a。令它等于十，a 等于二十五，可二十五大于十六，舍去。根号 a 大于四时，最小值是 f 四，等于四加四分之 a。令它等于十，a 等于二十四，满足大于十六。回代检验，根号二十四约等于四点九，确实大于四，最小值就是十。所以 a 等于二十四。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

二次函数求最值直接代端点，不看对称轴是否落在区间内
求值域时不先判断单调性，随手把端点值相减
分离常数时符号出错，把 2−1/(x+1) 写成 2+1/(x+1)
含参分类讨论漏情形，或解出参数后不回代检验所属范围
闭区间上最值明明取得到，值域却写成开区间

看完自测（3 题）

若 $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上的最大值在哪一点取到？
看答案与理由
答： $f (3)$ （右端点）。递增意味着自变量越大函数值越大，而 $[- 2, 3]$ 上最大的自变量是 3。
为什么： 单调性一旦确定，最值的位置就锁定了，不需要知道解析式。
求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 在 $[0, 3]$ 上的最小值，为什么不能只看 $f (0) = 3$ 和 $f (3) = 6$ ？
看答案与理由
答：配方得 $f (x) = (x - 1)^{2} + 2$ ，对称轴 $x = 1 \in [0, 3]$ ，最小值在顶点处取到，为 $f (1) = 2$ ；最大值才是 $f (3) = 6$ 。
为什么： 只有当对称轴落在区间外时，最小值才在端点取到；轴在区间内时必须看顶点。
已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 10，求 $a$ 。
看答案与理由
答： $a = 24$ 。转折点横坐标 $a$ 分三类： $0 < a < 1$ 时最小值 $1 + a = 10$ 得 $a = 9$ （舍）； $1 \leq a \leq 16$ 时最小值 $2 a = 10$ 得 $a = 25$ （舍）； $a > 16$ 时最小值 $4 + \frac{a}{4} = 10$ 得 $a = 24$ ，满足 $a > 16$ 。
为什么： 分类讨论解出的参数必须回代检查是否落在本类的范围内，否则会保留增根。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。