函数的概念：非空数集上的对应关系

概念初稿待审

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一句话 · 函数是定义在两个非空数集上的对应关系：A 中任意一个 x，在 B 中都有唯一确定的 y 与它对应。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

无（本知识点是起点）。

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看这张成绩表。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例判断下列对应能不能构成函数：
- ① $A = R$ ， $x \mapsto \frac{1}{x}$
- ② $A = {x ∣ x \neq = 0}$ ， $x \mapsto \frac{1}{x}$
- ③ 表格： $1 \to 90$ ， $2 \to 85$ ， $3 \to 78$ ， $4 \to 92$
- ④ $A = [0, + \infty)$ ，对应关系 $y^{2} = x$
卡住了？展开这一段的讲解
概念懂了，来动手判断。这道题有四小问。第一问，A 是全体实数，对应关系是 x 到 x 分之一。第二问，同样的式子，但 A 换成了所有不等于零的数。第三问给一张表。第四问回到刚才的 y 平方等于 x。
2第 8 段例题
- 三条标准：① 非空数集　② 每个 $x$ 都有 $y$ 　③ $y$ 唯一
- 逐条对照，不打印象分
卡住了？展开这一段的讲解
判断的尺子只有三把。第一把，看两个集合是不是非空数集。第二把，看 A 里的每个 x 是不是都有 y 跟上。第三把，看跟上的 y 是不是只有一个。四小问，我们一把一把量过去。
3第 9 段例题
- ① $A = R$ ： $x = 0$ 时 $\frac{1}{x}$ 无意义 → 漏了一个 $x$ → 不是函数
- ② $A = {x ∣ x \neq = 0}$ ：每个 $x$ 都有唯一的 $\frac{1}{x}$ → 是函数
卡住了？展开这一段的讲解
先量第一问。A 是全体实数，那 x 等于零也得有 y 跟上。可零不能做分母，一分之零没有意义。我在原点画一个空心圈，圈是空的就表示这个点不算在图象上。也就是 x 等于零没有对应的 y。所以第一问不是函数。第二问把零剔掉，每个 x 就都有 y 了，它是函数。
4第 10 段例题
- ④ $y^{2} = x$ ： $x = 4$ 对 $y = \pm 2$ → 不唯一 → 不是函数
- ③ 表格：每个学号唯一对应一个分数 → 是函数
- 结论：只有 ②③ 是函数
卡住了？展开这一段的讲解
再看第四问。y 平方等于 x，取 x 等于四，y 可以是二，也可以是负二。一个 x 对两个 y，第三把尺子没过。所以第四问也不是函数。第三问那张表，每个学号都对上了唯一一个分数，三条标准全过，它是函数。答案就是：只有第二问和第三问是函数。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

以为只有能写出解析式的对应才是函数，忽略表格、图象也是函数
把 $y^2=x$ 当成函数，忽略「唯一确定」这一条
只看式子不看集合 $A$，忽略 $x=0$ 处 $\dfrac1x$ 没有意义
把「任意一个 $x$」当成「存在某个 $x$」，只验证几个值就下结论
误以为 $B$ 中每个 $y$ 都必须有 $x$ 对应（值域只是 $B$ 的子集）

看完自测（3 题）

判断一个对应是不是函数，要检查哪三条？
看答案与理由
答： ① $A, B$ 都是非空数集；② $A$ 中任意一个 $x$ 都有 $y$ 与之对应；③ 对应的 $y$ 唯一确定。
为什么： 三条缺一不可：漏了②会出现 $x = 0$ 处的 $\frac{1}{x}$ ，漏了③会把 $y^{2} = x$ 当成函数。
为什么 $y^{2} = x$ 不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数？
看答案与理由
答：取 $x = 4$ ， $y$ 可以是 $2$ ，也可以是 $- 2$ ，一个 $x$ 对应两个 $y$ ，不满足唯一性。
为什么： 唯一性是针对「任意一个 $x$ 」说的：只要有一个 $x$ 对应了两个 $y$ ，它就不是函数。
写不出解析式的对应关系，能是函数吗？
看答案与理由
答：能。表格、图象、文字规则都可以是函数，只要满足三条标准。
为什么： 函数的关键是「对应关系」，公式只是表示对应关系的一种方式。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。