易错：分段函数求值代错分支；换元后忘记写新元的取值范围

易错初稿待审

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一句话 · 分段函数求值先判范围再代分支，分界点只属于一段；换元求解析式必须先求出新元的范围，并把它写成 f(x) 的定义域。

开始练习（9 题）看例题本章训练

前置知识

求函数解析式：换元法与配凑法

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

本节只做两件事

讲稿

这一节不讲新知识，我们只做一件事：把两个高频错误摆出来看。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 对错对比 · 换元后不写范围
- 已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x$ （ $x \in [0, 2]$ ），求 $f (x)$
- ✗ 错解一： $f (x) = x^{2} - 1$ ，范围不写，默认 $x \in R$
- ✗ 错解二：把 $x \in [0, 2]$ 原样抄成 $f (x)$ 的定义域
- ✗ 错在哪：换了元，却没有给新元找范围
卡住了？展开这一段的讲解
现在看第二类错误。已知 f 括号 x 加一等于 x 平方加 2x。其中 x 在 0 到 2 之间。错解一：直接写出 f x 等于 x 平方减一，范围不写，默认取全体实数。错解二：把原来的 x 属于 0 到 2 原封不动抄成 f x 的定义域。两个错解栽在同一处：换了元，却没有给新元找范围。
2第 8 段例题
- 正解：先求新元的范围
- 令 $t = x + 1$ ，由 $x \in [0, 2]$ 得 $t \in [1, 3]$
- $x = t - 1$ ，代入： $f (t) = (t - 1)^{2} + 2 (t - 1) = t^{2} - 1$
- $\Rightarrow f (x) = x^{2} - 1$ ， $x \in [1, 3]$
- 两端 $1$ 与 $3$ 都取得到，画实心
卡住了？展开这一段的讲解
正解要多做一步。令 t 等于 x 加一。先把 t 的范围找出来。x 在 0 到 2 之间，所以 t 在 1 到 3 之间。这里的 0 和 2 都取得到，所以 t 的两个端点也都取得到。再反解 x 等于 t 减一，代进去得 f t 等于 t 平方减一。所以 f x 等于 x 平方减一，定义域是 1 到 3。图上绿色色带就是这个定义域，两端都是实心；红虚线那一段是错解多画的。
3第 9 段例题
- 第二种错法：范围算出来了却没搬过去
- 已知 $f (x^{2} + 1) = x^{2} + 2$ ，求 $f (x)$
- 令 $t = x^{2} + 1 \geq 1$ ， $x^{2} = t - 1$ ，得 $f (t) = t + 1$
- ✗ 错解： $f (x) = x + 1$ ， $x \in R$ （范围没用上）
- ✓ 正解： $f (x) = x + 1$ ， $x \geq 1$
卡住了？展开这一段的讲解
再看一种更隐蔽的错法。已知 f 括号 x 平方加一等于 x 平方加 2，求 f x。有同学设了 t 等于 x 平方加一，也知道 t 大于等于 1。可是最后落笔，答案写成 f x 等于 x 加一，x 属于全体实数。范围明明算出来了，却没搬到 f x 的定义域上。正解是：t 大于等于 1。所以 f x 等于 x 加一，x 大于等于 1。
4第 10 段例题
- 配凑法也躲不掉范围
- $f (x + 1) = x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$
- $\Rightarrow f (□) = □^{2} - 1$ ，其中 $□ = x + 1$
- 配凑省掉的是「设 $t$ 」，省不掉的是「求 $t$ 的范围」
- $x \in [0, 2] \Rightarrow □ \in [1, 3]$
卡住了？展开这一段的讲解
有同学问：我用配凑法，不设 t 行不行？可以，但范围这一关躲不掉。把 x 平方加 2x 配成括号 x 加一的平方再减一。括号里那个整体就是新的自变量，它能取哪些值，还是得从原来的 x 推出来。配凑省掉的是设 t 这一步，省不掉的是求范围这一步。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

求值时不判范围，直接把自变量代进第一段（或看起来顺眼的那一段）
分界点归属搞错：x 等于分界点时用错了段，图上还把两个端点都画成实心
已知 f(a)=b 反求 a 时只解一个分支，漏掉另一个分支也可能有解
换元后不写新元的取值范围，默认新元能取遍全体实数
算出了新元的范围，却没把它搬到 f(x) 的定义域上

看完自测（3 题）

已知 $f (x) = {x + 1, x^{2}, x < 0 x \geq 0$ ，求 $f (2)$ 与 $f (0)$ 。
看答案与理由
答： $f (2) = 4$ ， $f (0) = 0$ 。
为什么： $2 \geq 0$ 与 $0 \geq 0$ 都落在第二段，只能用 $x^{2}$ 算； $x = 0$ 不属于第一段， $(0, 1)$ 那个点是空心的，不算函数值。
已知 $g (x) = {x + 1, 2 x - 2, x \leq 1 x > 1$ ，且 $g (a) = 2$ ，求 $a$ 。
看答案与理由
答： $a = 1$ 或 $a = 2$ 。
为什么： 两个分支都要解： $a + 1 = 2$ 得 $a = 1$ （满足 $1 \leq 1$ ）， $2 a - 2 = 2$ 得 $a = 2$ （满足 $2 > 1$ ），两个解都有效，只解一段就会漏解。
已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x$ （ $x \in [0, 2]$ ），求 $f (x)$ 及其定义域。
看答案与理由
答： $f (x) = x^{2} - 1$ ， $x \in [1, 3]$ 。
为什么： 令 $t = x + 1$ ，由 $x \in [0, 2]$ 得 $t \in [1, 3]$ ，再反解 $x = t - 1$ 代入；新元的范围要迁成 $f (x)$ 的定义域，不能写 $R$ ，也不能照抄 $[0, 2]$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。本例（已知 f(x+1)=x^2+2x 求 f(x)）与 5.2 k5 换元法例题同型，此处刻意复用作为易错靶子：那里教方法，这里抓错法（忘记写新元的取值范围）。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。