分段函数的图象与性质

方法初稿待审

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一句话 · 分段函数的图象由各段图象拼成：每段只画在自己的取值范围上，分界点含的画实心、不含的画空心，值域取各段值域的并集。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

分段函数的概念与求值

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

前面你已经会分段求值了。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例： $f (x) = {x^{2}, - x + 3, x < 1 x \geq 1$
- 求：图象、值域、单调区间
- 读题第一步：先看分界点 $x = 1$ 归哪一段
卡住了？展开这一段的讲解
看这道题。函数 f x 分两段：x 小于 1 时，f x 等于 x 的平方；x 大于等于 1 时，f x 等于负 x 加 3。要求画出图象，写出值域和单调区间。读题先抓分界点。x 等于 1 属于第二段，第一段不含它。
2第 8 段例题
- 分界点 $x = 1$ ：代第一段得 $1$ ，但第一段不含 → $(1, 1)$ 空心
- 代第二段得 $2$ ，第二段含 $x = 1$ → $(1, 2)$ 实心
- 先定两个端点，再画曲线，顺序不要反
卡住了？展开这一段的讲解
画之前先把分界点核对一遍。x 等于 1 代第一段，得 1。但第一段不含 x 等于 1，所以 (1,1) 画空心。x 等于 1 代第二段，得 2，第二段含它，(1,2) 画实心。红色虚线是 x 等于 1，它把两段的横向范围分开。
3第 9 段例题
- 第一段（ $x < 1$ ）： $x^{2} \in [0, + \infty)$ → $y$ 轴上从 $0$ 往上
- 第二段（ $x \geq 1$ ）： $- x + 3 \in (- \infty, 2]$ → $y$ 轴上到 $2$ 为止
- 并集 $= R$ ；最小值 $f (0) = 0$ ，无最大值
- 单调区间： $(- \infty, 0]$ 递减， $[0, 1)$ 递增， $[1, + \infty)$ 递减
卡住了？展开这一段的讲解
现在读性质。第一段 x 小于 1，x 的平方取遍 0 到正无穷。第二段 x 大于等于 1，负 x 加 3 取遍负无穷到 2。两条竖直色带合起来盖住整条 y 轴，所以值域是全体实数。y 轴上 0 那个点是实心的，说明 0 取得到，最小值就是 0。色带靠外的一端没有端点，所以不画标记。
4第 10 段例题
- $f (x) \geq 1$ ：作直线 $y = 1$ （红虚线），读它在图象上方的部分
- 第一段 $x < 1$ ： $x^{2} \geq 1 \Rightarrow x \leq - 1$
- 第二段 $x \geq 1$ ： $- x + 3 \geq 1 \Rightarrow 1 \leq x \leq 2$
- 解集： $(- \infty, - 1] \cup [1, 2]$ （两端都取到）
卡住了？展开这一段的讲解
再用图象解一个不等式：f x 大于等于 1。红色虚线是 y 等于 1。它与图象交于 x 等于负 1 和 x 等于 2。看虚线上方的部分，对应的 x 是负无穷到负 1，还有 1 到 2。两个端点都画实心，因为 x 等于负 1 和 x 等于 2 都满足不等式。左边色带的左端是无穷，不画端点。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把某一段画到了它的取值范围之外（曲线越过分界点继续延长）
分界点处两段都画成实心点，读出一个 x 对应两个 y
分界点的含与不含标反，值域与最值跟着错
求值域时漏掉一段，或把两段值域的并集写成交集
以为分段函数在整体上单调，不逐段看单调区间

看完自测（3 题）

画分段函数的图象有哪三步？
看答案与理由
答：先分清每一段的取值范围，再逐段画出图象，最后逐个检查分界点含不含。
为什么： 取值范围决定每段图象的横向范围；分界点的含不含决定实心还是空心。
分界点处的点该怎么画？
看答案与理由
答：先看分界点属于哪一段：含它的那一段画实心点，不含它的那一段画空心点。
为什么： 含与不含必须与解析式里的取值范围严格一致，两段都画实心就会出现一个 x 两个 y。
分段函数的值域怎么求？
看答案与理由
答：先分别求每一段的值域，再把它们并起来，注意每一端取不取得到。
为什么： 函数值来自各段，所以值域是各段值域的并集；并的时候端点含不含不能丢。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。