求函数解析式：方程组法（f(x) 与 f(−x)、f(1/x) 同时出现）

方法初稿待审

bx1-c5-s2-k6

一句话 · 同一式中出现 f(x) 与 f(−x) 或 f(1/x) 时，把自变量换成它的相反数或倒数再造一个等式，联立消元解出 f(x)；换 1/x 前必须保证 x≠0。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

问题：已知 $f (x) + 2 f (- x) = x$ ，求 $f (x)$

讲稿

再看一个更绕的问题。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知 $f (x) + 2 f (- x) = x$ （ $x \in R$ ），求 $f (x)$
- 先确认： $x \in R$ 时 $- x \in R$ ，替换合法
卡住了？展开这一段的讲解
把方法用一道题走一遍。已知 f x 加二倍的 f 负 x 等于 x。其中 x 属于全体实数，求 f x。读题先看定义域：x 可以是任何实数，那么负 x 也一定是任何实数。这一点保证了换元这一步是合法的。
2第 8 段例题
- 换元： $f (- x) + 2 f (x) = - x$
- 两式并列：① $f (x) + 2 f (- x) = x$ ；② $f (- x) + 2 f (x) = - x$
- ① $- 2 \times$ ②： $f (x) - 4 f (x) = x + 2 x \Rightarrow - 3 f (x) = 3 x$
卡住了？展开这一段的讲解
把式子里的 x 换成负 x。第一项变成 f 负 x，第二项变成二倍的 f x。右边的 x 也要换，得负 x。现在手上有两个等式。第一式是 f x 加二倍 f 负 x 等于 x。第二式是 f 负 x 加二倍 f x 等于负 x。把①减去 2 倍的②，就能把 f 负 x 消掉。
3第 9 段例题
- $f (x) = - x$ （ $x \in R$ ）
- 检验 $x = 2$ ：左边 $f (2) + 2 f (- 2) = - 2 + 4 = 2 =$ 右边
- 检验 $x = - 3$ ：左边 $f (- 3) + 2 f (3) = 3 - 6 = - 3 =$ 右边
- 两点 $(2, - 2)$ 、 $(- 2, 2)$ 关于原点对称
卡住了？展开这一段的讲解
算出来 f x 等于负 x。别忘了回代检验。取 x 等于二，f 二等于负二，f 负二等于二。代进原式左边：负二加二乘二等于二，右边也是二，成立。图上那两个点关于原点对称，正是这个结论的样子。
4第 10 段例题
- 已知 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = x$ （ $x \neq = 0$ ）
- 换 $x \to \frac{1}{x}$ ： $f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{1}{x}$
- 联立消去 $f (\frac{1}{x})$ ： $f (x) = \frac{2}{3 x} - \frac{x}{3}$ （ $x \neq = 0$ ）
- 图象分两支， $x = 0$ 处没有点
卡住了？展开这一段的讲解
再看一种变形：式子里同时出现 f x 和 f 倒数 x。方法一模一样，把 x 换成 x 分之一就得到第二个等式。比如已知 f x 加二倍的 f 倒数 x 等于 x。换完以后联立，解得 f x 等于三 x 分之二减三分之 x。注意这次的前提：x 不能等于零。否则倒数没有意义。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

换 −x 时只换等式左边，右边忘记换
换 1/x 时漏掉 x≠0 的前提，把定义域写成 R
以为换出来的式子和原式是同一个式子，联立时用错
擅自假设 f(−x)=−f(x) 或 f(−x)=f(x)，凭空多了一个条件
解出 f(x) 后不回代检验，消元时的符号错误留到最后

看完自测（3 题）

已知 $f (x) + 2 f (- x) = x$ 对任意 $x \in R$ 成立，为什么可以把 $x$ 换成 $- x$ ？
看答案与理由
答：因为等式对定义域内任意 $x$ 都成立， $x$ 只是占位符，而 $x \in R$ 时 $- x$ 也在定义域内
为什么： 替换合法的依据是「任意性」：换进去的东西必须仍落在定义域里。 $x \in R$ 时 $- x \in R$ ，所以无条件可用。
把 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = x$ 中的 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$ ，需要什么前提？
看答案与理由
答： $x \neq = 0$ ，否则 $\frac{1}{x}$ 没有意义
为什么： 换元的合法性依赖「换进去的东西属于定义域」； $x = 0$ 时 $\frac{1}{x}$ 不存在，而且题目本身的定义域就已经排除了 0。
方程组法解出 $f (x)$ 之后，为什么一定要回代检验？
看答案与理由
答：把解出的解析式代回原式，验证等式对定义域内的自变量恒成立
为什么： 消元过程中容易出现符号错误；检验只要取几个定义域内的值代入左右两边比对即可，尤其是边界附近的值。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。