分段函数的概念与求值

概念初稿待审

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一句话 · 分段函数是一个函数：定义域是各段取值范围的并集，求值先判范围再代分支，分界点含画实心、不含画空心。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

生活中很多收费都是分段的。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知 $f (x) = {x + 1, - x + 3, x \leq 0 x > 0$
- 求 $f (- 2)$ 、 $f (0)$ 、 $f (3)$
- 定义域 $R$ ，分界点 $x = 0$
卡住了？展开这一段的讲解
看例题。已知函数 f x 分两段。x 小于等于零时是 x 加一；x 大于零时是负 x 加三。要求 f 负二、f 零、f 三。读题先把定义域和分界点找出来。定义域是全体实数，分界点是零。
2第 8 段例题
- $- 2 \leq 0$ → 第一段； $0 \leq 0$ → 第一段； $3 > 0$ → 第二段
- 判断依据是取值范围，不是式子写的先后顺序
卡住了？展开这一段的讲解
求值的第一步是先判范围。负二小于等于零，走第一段。零也小于等于零，还是走第一段。三大于零，走第二段。零归第一段，依据不是式子写在哪一行。第一段的取值范围里写的是小于等于零。图上 x 等于零那里，实心点算数，空心圈不算。
3第 9 段例题
- $f (- 2) = (- 2) + 1 = - 1$
- $f (0) = 0 + 1 = 1$
- $f (3) = - 3 + 3 = 0$
卡住了？展开这一段的讲解
范围判好了，剩下的就是代入。负二在第一段，代入 x 加一，得负一。零在第一段，代入 x 加一，得一。三在第二段，代入负 x 加三，得零。三个值写在一起：f 负二等于负一，f 零等于一，f 三等于零。算数的是分界点上的实心点，空心圈不读。
4第 10 段例题
- $f (f (- 2))$ ：从里往外算
- 内层： $- 2 \leq 0$ → $f (- 2) = - 1$
- 外层： $- 1 \leq 0$ → 仍用第一段 → $f (- 1) = 0$
卡住了？展开这一段的讲解
再进一步。如果题目问 f 括号 f 负二，怎么算？从里往外，一层一层来。先算里面的 f 负二，等于负一。再把负一当成新的自变量，重新判一次范围：负一小于等于零，还是走第一段。所以 f 负一等于零，答案就是零。分界点上还是那句话：实心算数，空心不算。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把分段函数当成几个函数，认为两段式的写法就是两个函数
求值时看到分界点就代下面那一段，不先判断取值范围
两段都算一遍，然后随手挑一个结果
把各段取值范围写成并集时端点重复或漏掉，导致定义域写错
读图时把空心点当成图象上的点，用它读出错误的函数值

看完自测（3 题）

分段函数是一个函数还是几个函数？
看答案与理由
答：一个函数。它的定义域是各段取值范围的并集，每个自变量只对应一个函数值。
为什么： 两段的取值范围互不重叠，自变量落在哪一段就只有一个结果，所以不违背函数的定义。
已知 $f (x) = {x + 1, - x + 3, x \leq 0 x > 0$ ，求 $f (0)$ 。
看答案与理由
答： $f (0) = 0 + 1 = 1$ ，用第一段。
为什么： $0 \leq 0$ 成立、 $0 > 0$ 不成立，所以 $x = 0$ 属于第一段；第二段算出的 3 对应空心点，不是函数值。
分段函数求值的一般步骤是什么？
看答案与理由
答：先判断自变量落在哪一段，再用那一段的解析式代入求值。
为什么： 判断依据是各段的取值范围，不是式子在书面上出现的先后顺序。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。