求函数解析式：换元法与配凑法

方法初稿待审

bx1-c5-s2-k5

一句话 · 换元法是把括号里的整体设成新字母再代回去，配凑法是把右边凑成同一个整体直接读出来；两条路线都必须写清新元的取值范围。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看一个问题。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x$ （ $x \geq 0$ ），求 $f (x)$ 及其定义域
- 题目给了两样东西：对应关系 + $x$ 的范围；范围也是答案的一部分
卡住了？展开这一段的讲解
把刚才的结论用一道题完整走一遍。题目是，已知 f x 加一等于 x 的平方加二 x。注意，题目还加了条件：x 大于等于零。要求 f x，并且写出它的定义域。读题时先圈两样东西：括号里的 x 加一，和右边的 x。它们身份不同。
2第 8 段例题
- 换元：令 $t = x + 1$ ，由 $x \geq 0$ 得 $t \geq 1$
- 反解： $x = t - 1$
- 代入： $f (t) = (t - 1)^{2} + 2 (t - 1) = t^{2} - 1$ （ $t \geq 1$ ）
- 换字母： $f (x) = x^{2} - 1$ （ $x \geq 1$ ）
卡住了？展开这一段的讲解
第一步，令 t 等于 x 加一。因为题目规定 x 大于等于零，所以 t 也大于等于一。第二步，反解出 x 等于 t 减一。第三步，把 t 减一整个代到右边去。算一算，f t 等于 t 的平方减一。最后把字母换回来，答案写成 f x 等于 x 的平方减一。后面别忘了跟上 x 大于等于一。图上那段实线就是从一往右的部分，起点是实心的，说明一取得到。左边灰色那一小截，是原题管不到的地方。
3第 9 段例题
- 配凑： $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$
- $f (x + 1) = (x + 1)^{2} - 1 \Rightarrow f (□) = □^{2} - 1$
- 由 $x \geq 0$ 得 $□ = x + 1 \geq 1$
- $\Rightarrow f (x) = x^{2} - 1$ （ $x \geq 1$ ），与换元法一致
卡住了？展开这一段的讲解
再用配凑法走一遍同一道题。右边 x 的平方加二 x，添一减一，写成 x 加一的平方减一。左边是 f x 加一，右边是 x 加一的平方减一。那么 f 方块就等于方块平方减一。因为 x 大于等于零，所以方块也就是 x 加一，大于等于一。最后把方块写成 x，答案和换元法完全一样。
4第 10 段例题
- 没有附加条件： $x \in R \Rightarrow t = x + 1 \in R$
- $\Rightarrow f (x) = x^{2} - 1$ （ $x \in R$ ）
- 同一个解析式 + 不同定义域 = 两个不同的函数
卡住了？展开这一段的讲解
如果题目里没有那句 x 大于等于零呢？那 x 可以取遍所有实数，t 等于 x 加一，也可以取遍所有实数。这时候答案才是 f x 等于 x 的平方减一，x 属于 R。你看，解析式一模一样，定义域不一样，这就是两个不同的函数。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

换元后只写 f(t)=…，不写 t 的取值范围，定义域凭空变大
把新元的范围错写成原来自变量的范围（原题 x≥0，却写成定义域 x≥0）
配凑时添项减项写错，把 x²+2x 凑成 (x+1)²+1
求出 f(t) 后忘记把字母换回 x
把「解析式相同」当成「函数相同」，忽略定义域不同

看完自测（3 题）

已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x$ ，求 $f (x)$ 时，换元法的第一步是什么？
看答案与理由
答：令 $t = x + 1$ （把括号里的整体设成新字母），再由它反解出 $x$
为什么： 换元的目的是让函数符号后面只剩一个字母；不设新字母就没法把右边化成同一个整体的式子。
已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x$ （ $x \geq 0$ ）， $f (x)$ 的定义域是什么？
看答案与理由
答： $x \geq 1$ （即 $[1, + \infty)$ ）
为什么： 新元 t=x+1 的范围由 x 决定：x≥0 推出 t≥1；换成字母 x 后，定义域就是 [1,+∞)，不是 [0,+∞)。
配凑法与换元法得到的结果必须满足什么关系？
看答案与理由
答：解析式与定义域都必须完全一致
为什么： 两条路线只是手段不同，求的是同一个函数；若结果不同，一定是某一步的运算或范围写错了。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。本例（已知 f(x+1)=x^2+2x 求 f(x)）与 5.2 k7 易错专题用的例题同型，此处刻意复用同一个经典例题：这里用来教换元法（令 t=x+1，并把新元的取值范围写清楚）。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。