易错：求定义域漏条件；判断同一函数只看解析式不看定义域

易错初稿待审

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一句话 · 求定义域要把所有限制列全再取交集；判断同一函数要先比定义域、再比对应关系，化简不能代替定义域。

开始练习（9 题）看例题本章训练

前置知识

求函数的定义域（分母、偶次根号、零次幂、实际背景）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

本节只做两件事

讲稿

这一节不讲新知识，我们只做一件事：把两个高频错误摆出来看。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 例 $f (x) = \frac{3 - x}{x + 1} + (x - 2)^{0}$
- ✗ 错解：把 $(x - 2)^{0}$ 当成 $1$ ，只解前两条
- ✗ 错在哪：零次幂要求底数 $\neq = 0$ ，即 $x \neq = 2$
- ✓ 正解： $x \leq 3$ 且 $x \neq = - 1$ 且 $x \neq = 2$
- → $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, 3]$
卡住了？展开这一段的讲解
第三个对比，零次幂。求 f x 等于 x 加一分之根号三减 x，再加上 x 减二的零次方。有同学说，零次方就等于一，这个尾巴不用管。错在哪？底数 x 减二不能为零，否则它根本没有意义。正解是三个条件一起解，再取交集。
2第 9 段例题
- 例篱笆长 $20$ m，矩形一边长 $x$ m，面积 $S (x)$
- $S (x) = x (10 - x)$ ， $0 < x < 10$
- ✗ 错解：定义域写 $R$
- ✗ 错在哪： $x$ 与 $10 - x$ 都是边长，必须为正
- ✓ 正解：定义域 $(0, 10)$
卡住了？展开这一段的讲解
第四个对比，实际问题。用二十米长的篱笆围一个矩形，一边长 x 米，面积记作 S x。有同学算出 S x 等于 x 乘十减 x，定义域写全体实数。错在哪？x 是边长，它必须大于零，十减 x 也必须大于零。正解定义域是零到十。两端都是空心点，零和十都取不到。
3第 10 段例题
- 错解： $g (x) = \frac{x ^{2}}{x} = x$ ，所以 $f$ 与 $g$ 是同一函数
- 错在哪：化简约分隐含了 $x \neq = 0$ 这个前提
- $f$ 的定义域是 $R$ ； $g$ 的定义域是 ${x ∣ x \neq = 0}$
- 正解：定义域不同 $\Rightarrow$ 不是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
第五个对比，回到同一函数。f x 等于 x，g x 等于 x 平方除以 x。有同学一看，g 化简就是 x，判定它们是同一函数。错在哪？化简是有前提的，分母不能为零。g 的定义域不含零，f 的定义域是全体实数。定义域不同，它们就不是同一函数。
4第 11 段例题
- 错解：解析式形式不同 $\Rightarrow$ 不是同一函数
- 错在哪：判断同一函数要先比定义域，再比对应关系
- $x \geq 0$ 时 $x^{2} = x$ ； $x < 0$ 时 $x^{2} = - x$
- 即 $x^{2} = ∣ x ∣$ ，两个函数定义域都是 $R$
- 正解：是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
第六个对比，反过来。f x 等于 x 的绝对值，g x 等于根号下 x 的平方。两个解析式长得完全不一样。有同学一看就写：不是同一函数。错在哪？先看定义域，两个都是全体实数。再看对应关系：x 大于等于零时，根号下 x 平方就是 x；x 小于零时，它是负 x。合起来正好是绝对值。所以它们是同一函数。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

只解出一个限制就收笔，忘了几个条件要同时成立、取交集
只看分母，漏掉偶次根号下被开方数必须非负
把零次幂当成常数 1，忘了底数不能为零
实际背景题不检查取值范围是否符合实际意义
把 x²/x 化简成 x 就判定同一函数，忽略了 x≠0

看完自测（3 题）

求 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的定义域。
看答案与理由
答： $[- 1, 1) \cup (1, + \infty)$
为什么： 根号要求 $x + 1 \geq 0$ ，分母要求 $x \neq = 1$ ，两个条件同时成立要取交集。
$f (x) = x$ 与 $g (x) = \frac{x ^{2}}{x}$ 是同一函数吗？
看答案与理由
答：不是。定义域不同： $f$ 的定义域是 $R$ ， $g$ 的定义域不含 $0$ 。
为什么： 化简约分隐含了 $x \neq = 0$ 的前提，定义域不同就不是同一函数。
$f (x) = ∣ x ∣$ 与 $g (x) = x^{2}$ 是同一函数吗？
看答案与理由
答：是。两者定义域都是 $R$ ，且 $x^{2}$ 化简后就是 $∣ x ∣$ 。
为什么： 解析式形式不同不代表对应关系不同，要先比定义域、再比对应关系。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。