求函数值与值域的常用方法

方法初稿待审

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一句话 · 求函数值就是把自变量整体代进去；求值域看式子选方法：观察法、配方法、分离常数法、换元法。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三要素：定义域、值域、对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 7 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先做一件小事。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例 1 已知 $f (x) = x^{2} + 1$ ，求 $f (a + 1)$
- 整体代入： $f (a + 1) = (a + 1)^{2} + 1$
- 展开： $= a^{2} + 2 a + 1 + 1 = a^{2} + 2 a + 2$
- 顺带一问： $f (a + 1) - f (a) = (a^{2} + 2 a + 2) - (a^{2} + 1) = 2 a + 1$
卡住了？展开这一段的讲解
看例 1。已知 f x 等于 x 的平方加一，求 f 括号 a 加一。思路就一句：把 x 全部换成 a 加一。换的时候加括号，展开时别丢中间那一项。打开括号是 a 的平方加 2a 再加一，后面还要加 1。结果是 a 的平方加 2a 加 2。顺便算一下 f 括号 a 加一减去 f 括号 a，等于 2a 加 1。图上取 a 等于 1 为例。两个点分别在 x 等于 1 和 x 等于 2 处。红色虚线是把这两个点投影到 x 轴上。
2第 8 段例题
- 例 2 求 $y = x^{2} - 4 x + 5$ （ $x \in [0, 3]$ ）的值域
- 配方： $y = (x - 2)^{2} + 1$ ，对称轴 $x = 2$ 落在区间内
- 最小值 $y (2) = 1$ ；端点比较： $y (0) = 5$ ， $y (3) = 2$
- 最大值 $5$ ，值域 $[1, 5]$
卡住了？展开这一段的讲解
例 2。求 y 等于 x 的平方减 4x 加 5。这里 x 从 0 到 3。求它在这一段上的值域。先配方，y 等于 x 减 2 的平方加 1。对称轴 x 等于 2，正好落在区间里。所以最小值在 x 等于 2 处取到，是 1。最大值要到两个端点比一比。x 等于 0 时 y 等于 5，x 等于 3 时 y 等于 2。取大的那个，5。值域就是 1 到 5。图上区间两端都是实心点，说明 0 和 3 都取得到。
3第 9 段例题
- 例 3 求 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的值域
- $y = \frac{2 ( x - 1 ) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$
- $\frac{3}{x - 1} \neq = 0 \Rightarrow y \neq = 2$
- 值域 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$
卡住了？展开这一段的讲解
例 3。求 y 等于 x 减一分之 2x 加一的值域。做法和前面一样，分子凑出分母的倍数。分子写成 2 倍的 x 减一，再加 3。于是 y 等于 2 加上 x 减一分之三。这一项永远不等于零。所以 y 永远取不到 2。值域是除 2 以外的所有实数。红色虚线 y 等于 2，是曲线碰不到的渐近线。灰色虚线是 x 等于 1，那是函数没有定义的地方。
4第 10 段例题
- 例 4 求 $y = x + 2 x - 1$ 的值域
- 令 $t = x - 1$ ，则 $t \geq 0$ ， $x = t^{2} + 1$
- 代回： $y = t^{2} + 1 + 2 t = (t + 1)^{2}$
- $t \geq 0 \Rightarrow y \geq 1$ ，值域 $[1, + \infty)$
卡住了？展开这一段的讲解
例 4。求 y 等于 x 加 2 倍根号 x 减一的值域。令 t 等于根号 x 减一，t 大于等于零。反解出 x 等于 t 的平方加一。代回去，y 等于 t 加一的平方。因为 t 大于等于零，所以 t 加一大于等于一，y 就大于等于一。t 等于零时取到 1。值域是 1 到正无穷。图上最低点 (1,1) 是实心点，说明 x 等于一取得到。这段的右边没有端点，定义域一直伸到正无穷。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

整体代入不加括号：$f(a+1)$ 错写成 $a^2+1$，漏掉交叉项
换元后不写新元的范围（如 $t=\sqrt{x-1}$ 时 $t\ge0$），最小值取错位置
分离常数后漏掉 $y\ne2$ 这类取不到的常数，把值域写成 $\mathbf{R}$
配方求值域时，顶点不在给定区间内，仍套用顶点值当最值

看完自测（3 题）

已知 $f (x) = x^{2} + 1$ ，求 $f (a + 1)$ 。
看答案与理由
答： $f (a + 1) = (a + 1)^{2} + 1 = a^{2} + 2 a + 2$
为什么： 整体代入要加括号： $(a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ ，再加 $1$ 才得到 $a^{2} + 2 a + 2$ 。
求 $y = x^{2} - 4 x + 5$ （ $x \in [0, 3]$ ）的值域。
看答案与理由
答： $[1, 5]$
为什么： 配方得 $(x - 2)^{2} + 1$ ，顶点 $x = 2$ 在区间内，最小值 $1$ ；端点 $y (0) = 5 > y (3) = 2$ ，最大值 $5$ 。
求 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的值域。
看答案与理由
答： $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$
为什么： 分离常数得 $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，而 $\frac{3}{x - 1}$ 恒不为零，所以 $y$ 永远取不到 $2$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。