函数的图象与描点法作图

方法初稿待审

bx1-c5-s1-k5

一句话 · 图象是点的集合：描点法按列表、描点、连线三步作图，横向范围由定义域决定，端点含画实心、不含画空心。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

函数的概念：非空数集上的对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

初中的时候，你已经画过不少函数图象了。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例作函数 $f (x)$ 的图象： $f (x) = x + 1 (x < 0)$ ， $f (x) = x^{2} (x \geq 0)$
- 分界点 $x = 0$ ：第一段不含它，第二段含它
- 所以 $x = 0$ 处有两个点：一个空心、一个实心
卡住了？展开这一段的讲解
来看一道例题。作出这个函数的图象：当 x 小于 0 时，f x 等于 x 加 1；当 x 大于等于 0 时，f x 等于 x 的平方。读题先找分界点，就是 x 等于 0。注意，x 等于 0 只属于第二段。所以第一段在 x 等于 0 处的那个点，要画成空心的。
2第 8 段例题
- 第一段 $x < 0$ ：取 $x = - 2, - 1$ → $(- 2, - 1)$ 、 $(- 1, 0)$
- 第二段 $x \geq 0$ ：取 $x = 0, 1, 2$ → $(0, 0)$ 、 $(1, 1)$ 、 $(2, 4)$
- $x = 0$ 代入第一段得 $1$ ，但 $x = 0$ 不在第一段定义域内 → 这个点画空心
卡住了？展开这一段的讲解
下一步列表。第一段 x 小于 0，取负 2 和负 1，算出 y 是负 1 和 0。第二段 x 大于等于 0，取 0、1、2，算出 y 是 0、1、4。特别看 x 等于 0：代入第一段能算出一个 1，但那个 1 不算数。因为 x 等于 0 不在第一段里，这个点要画空心。
3第 9 段例题
- 连线：第一段是线段（不含右端点），第二段是抛物线的一段（含左端点）
- 图象由两条半支组成，在 $x = 0$ 处断开
- 检查：每一段的横坐标都要落在本段的定义域内
卡住了？展开这一段的讲解
最后连线。第一段是一条斜向上的线段，从负 2 到 0，右端点是空心的。第二段是抛物线右半边，从 0 开始，左端点是实心的。两段在 x 等于 0 处接不上，图象是断开的。画完还要检查一遍：每一段的横坐标，是不是都落在自己的定义域里。
4第 10 段例题
- 读图： $f (- 1) = 0$ （第一段）， $f (0) = 0$ （第二段）， $f (2) = 4$
- 空心点 $(0, 1)$ 不在图象上，不能把它当成 $f (0)$
卡住了？展开这一段的讲解
图画好了，它就可以拿来看。x 等于负 1 时，图象上的点是负 1 逗号 0。所以 f 负 1 等于 0。再看 x 等于 0，只能读第二段，f 0 等于 0。x 等于 2 时，f 2 等于 4。那个空心点不能读，因为它根本不在图象上。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把列表算出的几个点当成整幅图象，忽略了定义域里其余的点
把图象画到定义域之外（定义域是 [0,3]，却把曲线往两边延长）
分界点处两个端点都画成实心，分不清哪一段含这个点
只背三步不先看定义域，导致图象的横向范围画错

看完自测（3 题）

函数的图象到底是什么？
看答案与理由
答：所有满足 $y = f (x)$ 、且 $x$ 取遍定义域的点 $(x, y)$ 组成的集合。
为什么： 图象是点集，不是「那条线」；看起来连成线，是因为点足够密。
函数 $y = x^{2}$ （ $x \in [0, 3]$ ）的图象与完整的抛物线是什么关系？
看答案与理由
答：只保留横坐标在 $[0, 3]$ 内的那一段，端点 $(0, 0)$ 、 $(3, 9)$ 都取到，画成实心点。
为什么： 定义域决定图象的横向范围，定义域之外的 $x$ 没有对应的点。
分段函数在分界点处的点怎么画？
看答案与理由
答：先看分界点属于哪一段：含它的那一段画实心点，不含它的那一段画空心点。
为什么： 端点的含与不含必须和解析式里的取值范围严格一致，标错了图就读错了。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。