判断两个函数是否为同一函数（定义域与对应关系都要相同）

方法初稿待审

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一句话 · 判断两个函数是不是同一个：先比定义域，再化简解析式比对应关系，两条都相同才是同一函数；值域由这两条决定，不必单独比较。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三要素：定义域、值域、对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 7 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看两个函数。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- $f (x) = x$ ： $D_{1} = R$
- $g (x) = \frac{x ^{2}}{x}$ ：分母不为零 $\Rightarrow D_{2} = {x ∣ x \neq = 0}$
- $D_{1} \neq = D_{2}$ → 判定到此结束：不是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
回到开头那道题，现在正式判一判。第一步，比定义域。f x 的定义域是全体实数。g x 的分母是 x，要求 x 不等于 0。所以它的定义域是 x 不等于 0 的所有实数。数轴上 0 那个位置是空心的，取不到。左右两端一直伸到无穷，那里没有端点。两个定义域不一样，第一个条件就不满足。
2第 8 段例题
- 化简： $\frac{x ^{2}}{x} = x$ —— 这一步只在 $x \neq = 0$ 时成立
- 化简不能改变定义域： $x = 0$ 依然代不进去
- 对应关系相同 + 定义域不同 → 仍不是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
有同学会说，那我把 g 化简，x 的平方除以 x 不就是 x 吗？对，化简之后确实一样。但化简只能在定义域内进行。x 等于 0 本来就不许代进去，化简不能把这个限制抹掉。所以两个函数的对应关系一样，定义域却不同，还是不是同一个函数。
3第 9 段例题
- $f$ ：直线 $y = x$ ， $(0, 0)$ 是图象上的点
- $g$ ：同一条直线， $(0, 0)$ 处是空心点，图象缺一个点
- 结论： $f$ 与 $g$ 不是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
用图再看一遍。f 的图象是完整的直线，原点那个点是实心的。g 的图象是同样的直线，但原点换成了空心圈。图上差一个点，就不是同一个函数。判断两个函数，先看定义域，这一步就能拦下很多错误。
4第 10 段例题
- $f (x) = ∣ x ∣$ ， $D_{1} = R$ ； $g (x) = x^{2}$ ， $D_{2} = R$ → 定义域相同
- 化简： $x^{2} = ∣ x ∣$ （对任意 $x \in R$ 都成立）→ 对应关系相同
- 两条都满足 → 是同一函数
卡住了？展开这一段的讲解
再看另一组。f x 等于 x 的绝对值，g x 等于根号下 x 的平方。第一步比定义域：两个式子对全体实数都有意义，定义域都是全体实数。第二步化简。根号下 x 的平方，当 x 是负数时等于负 x。合起来就是 x 的绝对值。对应关系相同，定义域相同，所以它们是同一个函数。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

只看化简后的解析式，忘记化简会改变（缩小）定义域
认为值域相同就是同一函数
解析式相同就判相同，忽略了定义域可能不同
先化简再求定义域，把被分母排除掉的点丢了

看完自测（3 题）

判断两个函数是否为同一函数，要比哪两条？
看答案与理由
答：定义域相同，并且对应关系相同；两条都满足才是同一函数。
为什么： 值域由定义域与对应关系唯一确定，是结果而不是判定条件。
$f (x) = x$ 与 $g (x) = \frac{x ^{2}}{x}$ 是同一函数吗？
看答案与理由
答：不是。 $g$ 的分母不能为零，定义域是 ${x ∣ x \neq = 0}$ ，比 $f$ 少了 $x = 0$ 。
为什么： 化简 $\frac{x ^{2}}{x} = x$ 只在 $x \neq = 0$ 时成立，化简不能把定义域的限制抹掉。
$f (x) = ∣ x ∣$ 与 $g (x) = x^{2}$ 是同一函数吗？
看答案与理由
答：是。两个式子的定义域都是 $R$ ，且 $x^{2} = ∣ x ∣$ ，对应关系也相同。
为什么： 解析式写法不同不代表对应关系不同，化简后一致就可以。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。