求函数的定义域（分母、偶次根号、零次幂、实际背景）

方法初稿待审

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一句话 · 定义域是使解析式有意义的 x 的集合：先找限制（分母、偶次根号、零次幂、对数的真数），再列不等式组取交集。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

函数的三要素：定义域、值域、对应关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

先看一个式子。

②例题实操

3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 9 段例题
- 例 1 求 $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ 的定义域
- 找限制：分母（ $x - 1$ ）、偶次根号（ $x + 3$ ）
- 列条件： $x - 1 \neq = 0$ 且 $x + 3 \geq 0$
卡住了？展开这一段的讲解
来做一道综合题。求 f x 等于 x 减一分之根号 x 加三的定义域。读题先找三样东西：有没有分母，有没有偶次根号，有没有零次幂。这里有一个分母，还有一个根号。那就列两条限制，再取交集。
2第 10 段例题
- 由 $x - 1 \neq = 0$ 得 $x \neq = 1$ ；由 $x + 3 \geq 0$ 得 $x \geq - 3$
- 取交集： $- 3 \leq x < 1$ 或 $x > 1$
- 定义域 $[- 3, 1) \cup (1, + \infty)$
卡住了？展开这一段的讲解
第一条，x 不等于一。第二条，x 大于等于负三。两个条件要同时满足。在数轴上把两段都标出来，重合的部分才是答案。写成负三到一左闭右开，再并上一到正无穷。注意，负三那头是实心，取得到；一是取不到的，那里是空心圈。右边没有端点标记，因为这一段一直伸到正无穷。
3第 11 段例题
- 例 2 20 米篱笆靠墙围矩形，垂直于墙的边长为 $x$ 米
- 另一边长 $20 - 2 x$ 米，面积 $S (x) = x (20 - 2 x)$
- 实际意义： $x > 0$ 且 $20 - 2 x > 0$
- 定义域 $(0, 10)$
卡住了？展开这一段的讲解
再看一道实际背景的题。用 20 米篱笆靠墙围一个矩形。设垂直于墙的那条边是 x 米。另一条边就是 20 减 2x 米。面积 S 等于 x 乘 20 减 2x。x 是边长，必须大于零；另一条边也要大于零，所以 x 小于 10。定义域是 0 到 10 的开区间，两端都取不到。

③章节训练

第5章函数概念与性质 · 限时综合卷

题量

26 题

总分

150 分

限时

90 分钟

覆盖知识点

26 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

先约分再求定义域，把 $x\ne0$ 这类条件约掉了
看到零次幂只想到等于 $1$，忘了底数不能为零
偶次根号在分母上，把开区间写成闭区间（端点其实取不到）
含对数的式子漏掉真数大于零这一条
实际背景题只写解析式，不写 $x$ 的实际取值范围

看完自测（3 题）

$f (x) = \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是什么？
看答案与理由
答： $(2, + \infty)$
为什么： 被开方数要 $x - 2 \geq 0$ ，又因为它坐在分母上不能为零，所以只能 $x - 2 > 0$ ，端点 $2$ 取不到。
$f (x) = (2 x - 4)^{0}$ 的定义域是什么？
看答案与理由
答： $x \neq = 2$ ，即 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$
为什么： 零次幂 $a^{0} = 1$ 是对 $a \neq = 0$ 说的，这里要求 $2 x - 4 \neq = 0$ 。
$f (x) = lo g_{2} (x - 1)$ 的定义域是什么？
看答案与理由
答： $(1, + \infty)$
为什么： 对数的真数必须大于零： $x - 1 > 0$ ，解得 $x > 1$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。