基本不等式 √(ab) ≤ (a+b)/2 及成立条件 a>0、b>0

公式初稿待审

bx1-c3-s2-k1

一句话 · 对正数 a、b 有 √(ab) ≤ (a+b)/2，等号当且仅当 a=b；使用时要过一正、二定、三相等三步。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

比较两个正数的算术平均数与几何平均数

讲稿

两个正数 a、b，它们的算术平均数与几何平均数谁大？

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 求 a + 1/a 的最小值（a>0）
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：已知 a>0，求 a 加 a 分之一的最小值。
2第 9 段例题
- a · (1/a) = 1（定值）
- √1 = 1 ⇒ a + 1/a ≥ 2
卡住了？展开这一段的讲解
思路：两个正数 a 与 1/a 的乘积是定值 1，正好可以用基本不等式。
3第 10 段例题
- 等号条件 a = 1/a ⇒ a=1
- a=1 在范围内，最小值 2 可取到
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：等号成立要求 a 等于 a 分之一，即 a=1。a=1 确实在 a>0 范围内，等号能取到，所以最小值就是 2。
4第 11 段例题
- 等号点不在范围时不能直接用
- 此时要用单调性另求最值
卡住了？展开这一段的讲解
反过来看：如果等号取不到，就不能说最小值是 2。比如求 a 加 a 分之一在 a 大于等于 2 时的最小值，等号点 a=1 不在范围内。

第3章不等式 · 限时综合卷

题量

18 题

总分

105 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

18 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

基本不等式的等号什么时候成立？
看答案与理由
答：当且仅当 a=b 时成立。
为什么： 这是求最值能否取到的判据。
为什么要求 a、b 都是正数？
看答案与理由
答：否则根号 ab 可能没有意义，或大小关系反向。
为什么： 一正一负时 ab<0，都负时结论不成立。
a>0 时 a 加 a 分之一的最小值是多少？
看答案与理由
答： 2，在 a=1 处取到。
为什么： a 与 1/a 乘积为定值 1，等号在 a=1 处。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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