「1」的代换求最值
方法初稿待审bx1-c3-s2-k5
一句话 · 和为定值时把常数 1 写成「定和除以定和」，乘进分式和展开，凑出乘积为定值的互倒两项，再用基本不等式并验证等号。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
条件是和为定值，待求式是分式之和
两个分式相加求最小值，为什么乘以一个等于 1 的式子就能算出来？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 10 段例题
1 = (a+b)/4
卡住了？展开这一段的讲解
例题。由 a 加 b 等于 4，可得 1 等于四分之 a 加 b。
- 2第 11 段例题
原式 = (10 + b/a + 9a/b)/4
卡住了？展开这一段的讲解
把原式乘以这个等于 1 的式子，展开后得到四分之十加上两项。
- 3第 12 段例题
b/a 与 9a/b 乘积为 9
b/a + 9a/b ≥ 6
卡住了？展开这一段的讲解
两个分式都正，乘积为定值 9，故两者之和至少是 6。
- 4第 13 段例题
原式 ≥ (10+6)/4 = 4
等号 b=3a、a+b=4 ⇒ a=1、b=3
卡住了？展开这一段的讲解
原式至少是 4。等号要求 b 等于 3a，联立定和可得 a 等于 1。
③章节训练
第3章 不等式 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 直接对两个分式用基本不等式，把 a、b 的约束丢掉
- 只做代换却忘了把等于 1 的式子乘进原式
- 展开后没有凑出乘积为定值的两项就开始放缩
- 不验证等号点是否在取值范围内、是否满足正数前提
看完自测（3 题）
为什么不能直接对两个分式用基本不等式？
看答案与理由
答： 因为这样放缩时没有用到 a、b 的约束，得到的下界可能根本取不到。
为什么： 直用会把条件丢在一边，下界与约束无关。
已知 a>0、b>0 且 a+b=6，则 1/a 加 4/b 的最小值是多少？
看答案与理由
答： 最小值是 3/2，在 a=2、b=4 处取到。
为什么： 把 1 写成 (a+b)/6，展开得 (5+b/a+4a/b)/6，b/a 与 4a/b 之和至少是 4。
用「1」的代换时最容易漏掉哪一步？
看答案与理由
答： 漏掉等号成立条件的验证。
为什么： 等号点不在范围内时，下界不是最小值。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 14
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。