用基本不等式求最值：一正、二定、三相等

方法初稿待审

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一句话 · 用基本不等式求最值固定三步：一正确认两项为正，二定找到积或和的定值，三相等验证等号点落在取值范围内。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

基本不等式求最值，凭什么扣分？

讲稿

用基本不等式求最值，为什么有人算出下界却拿不到分？

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 求 x + 1/x 的最小值（x>0）
- 积 x · (1/x) = 1
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：x 大于零，求 x 加 x 分之一的最小值。两项乘积是定值 1。
2第 8 段例题
- x+1/x ≥ 2√1 = 2
- 等号 x=1/x ⇒ x=1（在范围内）
- 最小值 2
卡住了？展开这一段的讲解
验证等号：x 等于 x 分之一，解得 x 等于 1。它在 x 大于零内，所以最小值是 2。
3第 9 段例题
- 求 x + 1/x 的最小值（x≥2）
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：把范围改成 x 大于等于 2，再求 x 加 x 分之一的最小值。
4第 10 段例题
- 等号点 x=1 不在 [2,+∞) 内
- 下界 2 取不到
- 改用单调性
卡住了？展开这一段的讲解
注意等号点 x 等于 1 不在范围里，不能报最小值 2。这时要看单调性。
5第 11 段例题
- f(x)=x+1/x 在 [2,+∞) 上递增
- 最小值 f(2)=2+1/2=5/2
卡住了？展开这一段的讲解
x 加 x 分之一在 x 大于等于 2 上递增。所以最小值在 x 等于 2 处取到，是二分之五。

第3章不等式 · 限时综合卷

题量

18 题

总分

105 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

18 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

用基本不等式求最值的三步是什么？
看答案与理由
答：一正、二定、三相等。
为什么： 三步分别对应正数前提、定值来源和等号可取。
x≥2 时 x+1/x 的最小值是多少？
看答案与理由
答： 5/2，在 x=2 处取到。
为什么： 等号点 x=1 不在范围内，下界 2 取不到，要用单调性另求。
x<0 时 x+1/x 有最小值吗？
看答案与理由
答：没有最小值，此时 x+1/x ≤ -2，最大值是 -2。
为什么： 两项都是负数，不能直接用基本不等式求最小值。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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