易错：忽略等号成立条件导致取不到最值；忽略正数前提

易错初稿待审

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一句话 · 基本不等式只给出下界；下界要成为最小值，必须验证等号点在取值范围内，同时不能丢掉 a>0、b>0 的前提。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 14第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

基本不等式的结论：原式 ≥ 某个下界

下界 ≠ 最小值

讲稿

基本不等式给的永远是下界，下界要成为最小值，必须有人真的取到它。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 9 段例题
- ✗ 不检查 a>0、b>0
- 一正一负：根号 ab 无意义
卡住了？展开这一段的讲解
第二类易错：忘记正数前提。a、b 一正一负时乘积为负，根号 ab 根本没有意义。
2第 10 段例题
- a<0、b<0：a+b ≤ -2√(ab)
卡住了？展开这一段的讲解
a、b 都是负数时乘积为正，但两边同时乘以负号，不等号方向要反过来。
3第 11 段例题
- a=-1、b=-9：a+b=-10
- 2√(ab)=6，方向反了
卡住了？展开这一段的讲解
举个例子：a 等于负 1、b 等于负 9，两数之和为负 10。
4第 12 段例题
- 令 u=-a、v=-b，则 u、v 都是正数
- a+b ≤ -2√(ab)
卡住了？展开这一段的讲解
把两个负数换成相反数，就回到正数情形。负数的题先做这个变形。

第3章不等式 · 限时综合卷

题量

18 题

总分

105 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

18 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

x>0 时 x 加 x 分之一的最小值是多少？
看答案与理由
答： 2，在 x=1 处取到。
为什么： 等号点 x=1 落在 x>0 内。
x≥3 时，x 加 x 分之四的最小值是 4 吗？
看答案与理由
答：不是。下界 4 的等号点 x=2 不在范围内，最小值在 x=3 处，等于 13/3。
为什么： 放缩得到的下界不一定取得，先查等号点再看端点。
a、b 都是负数时，基本不等式的方向是什么？
看答案与理由
答：方向相反：a+b ≤ -2√(ab)。
为什么： 两边同乘 -1 就把负数情形变回正数情形。

未填密钥

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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