平面向量基本定理与基底的意义
概念初稿待审bx2-c9-s3-k1
一句话 · 基底由两个不共线向量组成；取定基底后，任一向量都能唯一表示成 a = λ₁e₁ + λ₂e₂，系数由向量与基底共同决定。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
问题：两个向量能否表示全平面
平面上有无穷多个向量，能不能只用两个向量把它们全部写出来？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
取 AB、AC 作基底
D 是 BC 的中点
卡住了？展开这一段的讲解
例一：在三角形里，用两条边作基底表示第三条边和中线。
- 2第 8 段例题
BE = BA + AE
BA = −AB，AE = ½AC
卡住了？展开这一段的讲解
从 B 到 E，先走 B 到 A，再走 A 到 E，两段都换成基底。
- 3第 9 段例题
BE = −½AB + ½AC
系数 −½ 与 ½ 就是这一组
卡住了？展开这一段的讲解
所以 BE 等于负二分之一 AB 加二分之一 AC。
- 4第 10 段例题
系数对照：λ₁ = μ₁，λ₂ = μ₂
卡住了？展开这一段的讲解
换个问法：同一个向量写成两组系数时，两组系数必须完全相同。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 用两个共线向量当基底，实际只能表示一条直线上的向量
- 不先检验两个向量不共线，就直接套用「表示唯一」
- 把基底表示的系数与向量的坐标混为一谈
- 认为同一个向量在同一组基底下可以有两组不同的系数
看完自测（3 题）
什么样的两个向量可以作一组基底？
看答案与理由
答： 两个不共线的向量。
为什么： 共线时线性组合都落在同一条直线上，覆盖不了整个平面。
取定基底后，一个向量的表示系数有几组？
看答案与理由
答： 只有一组，由这个向量与基底共同确定。
为什么： 若有两组，相减会推出两个基底向量共线，与前提矛盾。
在同一组基底下，两个向量相等意味着什么？
看答案与理由
答： 它们对应的系数分别相等。
为什么： 这是表示唯一性的直接用法。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。