用坐标表示平行与垂直的条件

公式初稿待审

bx2-c9-s3-k3

一句话 · 若 a=(x₁,y₁)、b=(x₂,y₂)，则 a∥b 等价于 x₁y₂−x₂y₁=0（交叉相减为零），a⊥b 等价于 x₁x₂+y₁y₂=0（对应相乘相加为零）。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

问题：坐标判断平行与垂直

讲稿

两个向量的坐标都给了，怎样从数上看出它们平行还是垂直？

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- a = (1, 2)，b = (2, 4)
卡住了？展开这一段的讲解
例一：判断 a 等于 (1, 2) 与 b 等于 (2, 4)。它们是否平行？
2第 8 段例题
- 1×4 − 2×2 = 0
- 故 a ∥ b
卡住了？展开这一段的讲解
交叉相减得一乘四减二乘二，等于零，所以两者平行。
3第 9 段例题
- a = (2, 3)，b = (4, k)
卡住了？展开这一段的讲解
例二：已知 a 等于 (2, 3)，b 等于 (4, k)。两向量平行，求 k 的值。
4第 10 段例题
- 2k − 12 = 0
- k = 6
卡住了？展开这一段的讲解
由二乘 k 减四乘三等于零，解得 k 等于六。
5第 11 段例题
- a = (1, 2)，b = (k, −1)
- k − 2 = 0，k = 2
卡住了？展开这一段的讲解
例三：垂直求参数，对应相乘相加为零，解得 k 等于二。

第9章平面向量 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

125 分

限时

75 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

两个向量平行的坐标条件是什么？
看答案与理由
答： x₁y₂ − x₂y₁ = 0，也就是交叉相乘再相减为零。
为什么： 坐标成比例时，交叉相乘的结果相等。
两个向量垂直的坐标条件是什么？
看答案与理由
答： x₁x₂ + y₁y₂ = 0，也就是对应分量相乘再相加为零。
为什么： 垂直时数量积为零，而数量积的坐标公式就是对应分量乘积之和。
已知含参数的坐标，怎样求参数？
看答案与理由
答：按题目要求选用平行或垂直的条件，把坐标代入得到方程，再解方程。
为什么： 条件本身就是关于参数的方程。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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