平面向量基本定理与向量的线性表示
公式初稿待审bx2-c9-s2-k3
一句话 · 若 e₁ 与 e₂ 不共线，则平面内任一向量 a 可唯一表示为 a = λ₁e₁ + λ₂e₂，这一对不共线向量叫做一组基底；不共线是前提，唯一性是结论。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
两个向量能否表示全平面
如果只给你两个不共线的向量，能不能把平面上所有的向量都表示出来？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
先看两组系数的比例
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：a 等于三倍 e₁ 减二倍 e₂。b 等于负六倍 e₁ 加四倍 e₂。
- 2第 9 段例题
−2×(3, −2) = (−6, 4)
卡住了？展开这一段的讲解
把 a 的系数同时乘以负二，得到负六与负四，再与 b 逐项对照。
- 3第 10 段例题
b = −2a，故 a ∥ b
卡住了？展开这一段的讲解
两组系数都能对应上，说明 b 等于负二倍的 a。
- 4第 11 段例题
系数一一对应，别无第二组
卡住了？展开这一段的讲解
如果同一个向量写成两组系数，那么这两组系数必须完全一样。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 用两个共线向量当基底（张不成整个平面）
- 忽略「不共线」这个前提就去谈唯一表示
- 把线性表示的系数与向量坐标混为一谈
- 认为同一个向量可以有两组不同的基底系数
看完自测（3 题）
什么样的两个向量可以作基底？
看答案与理由
答： 不共线的两个非零向量。
为什么： 共线时只能表示一条直线上的方向。
平面向量基本定理的结论有几层？
看答案与理由
答： 两层：任一向量都能表示，而且表示唯一。
为什么： 存在性与唯一性缺一不可。
基底表示中的系数由什么决定？
看答案与理由
答： 由向量 a 与基底一起唯一确定，只有一组。
为什么： 唯一性来自基底不共线。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。