向量的坐标表示与坐标运算（加减、数乘、数量积）

公式初稿待审

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一句话 · 在正交单位基底下 a = (x, y)：加减与数乘都按分量进行，数量积等于对应分量乘积之和 a·b = x₁x₂ + y₁y₂，它与 |a||b|cosθ 是同一个量，可用来反求夹角。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

取正交单位基底：i 与 j

讲稿

如果取两个互相垂直的单位向量当基底，平面会变成什么样子？

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- a = (2, 1)，b = (−1, 3)
卡住了？展开这一段的讲解
例一：已知 a 等于 (2, 1)，b 等于 (−1, 3)。先求它们的和、差与数乘。
2第 9 段例题
- a + b = (1, 4)
- a − b = (3, −2)
- 2a = (4, 2)
卡住了？展开这一段的讲解
对应分量分别相加、相减，数乘时两个分量都乘二。
3第 10 段例题
- a·b = 2×(−1) + 1×3
- a·b = 1
卡住了？展开这一段的讲解
例二：求数量积时，两个横坐标相乘、两个纵坐标相乘，再相加。
4第 11 段例题
- a = (1, 1)，b = (1, 0)
- cosθ = a·b ÷ (|a||b|)
- cosθ = √2/2，θ = 45°
卡住了？展开这一段的讲解
例三：由数量积反求夹角，先算两个模，再代入余弦公式。

第9章平面向量 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

125 分

限时

75 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

向量的坐标是怎样来的？
看答案与理由
答：取正交单位基底 i、j，把向量写成 x i + y j，系数对 (x, y) 就是坐标。
为什么： 坐标本质是基底表示的系数，不是新的运算对象。
两个向量的数量积用坐标怎么算？
看答案与理由
答：横坐标之积加上纵坐标之积，即 a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
为什么： 由数量积的分配律与 i、j 的正交性展开即得。
知道坐标后，怎样求两个向量的夹角余弦？
看答案与理由
答：先算数量积与两个模，再用 cosθ = (a·b) ÷ (|a||b|)。
为什么： 因为数量积与「模乘模乘夹角余弦」是同一个量。

未填密钥

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