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用坐标法求模、夹角与三点共线问题

方法初稿待审

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一句话 · 坐标法三步：先把点转成向量坐标；模用平方和开方、夹角用数量积除以两模之积、三点共线用两连向量平行（交叉相减为零）。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

坐标法：模、夹角、共线都能算

讲稿

有了坐标，向量的模、夹角、共线都能算出来。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 直接用模的坐标公式

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 1：已知 a 的坐标是 3 与 4，求它的模。

  2. 2第 9 段例题

    • √(3² + 4²) = √25 = 5

    卡住了？展开这一段的讲解

    思路：平方和是 9 加 16 得 25，开方得 5。

  3. 3第 10 段例题

    • a·b = 3×1 + 4×0 = 3

    • cosθ = 3/5

    卡住了？展开这一段的讲解

    关键一步：再看夹角。已知 b 的坐标是 1 与 0，先算数量积 3 乘 1 加 4 乘 0 得 3，再除以两模之积 5。得余弦五分之三。

  4. 4第 11 段例题

    • AB=(1,2)、AC=(2,4)

    • 1×4 − 2×2 = 0 ⇒ 共线

    卡住了？展开这一段的讲解

    再看共线：A(0,0)、B(1,2)、C(2,4)。向量 AB 是 (1,2)，向量 AC 是 (2,4)，交叉相减 1×4 − 2×2 得 0。故三点共线。

③章节训练

第9章 平面向量 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

125 分

限时

75 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 把起点坐标当成向量坐标
  • 夹角公式分母漏掉一个模
  • 用垂直条件去判共线
  • 算数量积时漏掉一个分量

看完自测（3 题）

  • 向量的坐标怎么由两点得到？

    看答案与理由

    答： 终点坐标减去起点坐标。

    为什么： 这是坐标法的第一步。

  • 求两向量夹角的余弦要算哪两个量？

    看答案与理由

    答： 数量积与两个模的乘积。

    为什么： 余弦等于前者除以后者。

  • 怎么用坐标判断三点共线？

    看答案与理由

    答： 两两连成两个向量，判断它们平行（交叉相减为零）。

    为什么： 共线即两连向量平行。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。