数量积的运算律用错（不满足结合律 (a·b)·c≠a·(b·c)）

易错初稿待审

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一句话 · 数量积的运算律里，交换律、分配律与数乘结合律都成立，但结合律与消去律都不成立：(a·b)·c 沿 c 方向、a·(b·c) 沿 a 方向，而 a·b = a·c 也推不出 b = c。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

数的乘法可随意加括号

讲稿

数的乘法满足结合律。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- |a| = |b| = |c| = 1
- 两两夹角分别为 60°、60°、120°
卡住了？展开这一段的讲解
例一：三个单位向量，方向依次是零度、六十度、一百二十度。比较 a·b 乘 c 与 a 乘 b·c。
2第 8 段例题
- a·b = 1×1×cos60° = 1/2
- b·c = 1×1×cos60° = 1/2
- (a·b)·c = (1/2)c，a·(b·c) = (1/2)a
卡住了？展开这一段的讲解
先算括号里的数。左边等于二分之一倍的 c，方向沿 c。右边等于二分之一倍的 a，方向沿 a。
3第 9 段例题
- (1/2)c ≠ (1/2)a（方向不同）
- 故 (a·b)·c ≠ a·(b·c)
卡住了？展开这一段的讲解
两个向量的方向不同，所以它们不相等。结合律在这里被打破了。
4第 10 段例题
- 取 a 竖直，b 与 c 都水平
- 则 a·b = a·c = 0，但 b ≠ c
卡住了？展开这一段的讲解
例二：判断 a·b 等于 a·c 能否推出 b 等于 c。让 b 与 c 都与 a 垂直就知道了。

第9章平面向量 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

125 分

限时

75 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

(a·b)·c 与 a·(b·c) 分别是什么？
看答案与理由
答：都是向量：前者与 c 共线，后者与 a 共线。
为什么： 括号里先算出一个实数，再数乘外面的向量。
数量积满足结合律吗？
看答案与理由
答：不满足，(a·b)·c 与 a·(b·c) 一般不相等。
为什么： 两者的方向分别由 c 和 a 决定。
由 a·b = a·c 且 a ≠ 0 能推出 b = c 吗？
看答案与理由
答：不能。
为什么： 只要 b、c 都与 a 垂直，数量积就都为零，但 b 与 c 可以不同。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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