向量的数乘及其几何意义（共线定理）
公式初稿待审bx2-c9-s2-k2
一句话 · 数乘 λa 仍是向量：模等于 |λ| 乘 |a|，λ 为正同向、为负反向、为零得零向量。共线定理：b 非零时，a 与 b 共线等价于存在唯一实数 λ 使 a = λb。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
把向量放大、缩小、掉头
向量能不能像数一样被放大或者缩小？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
找倍数关系
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：a 的坐标是一二，b 的坐标是二四。判断它们是否共线。
- 2第 10 段例题
2·(1, 2) = (2, 4) = b
2×1 = 2，2×2 = 4
卡住了？展开这一段的讲解
把 a 乘以二，横坐标得一乘二得二，纵坐标得二乘二得四，正好是 b。
- 3第 11 段例题
a = 2b，故 a ∥ b
卡住了？展开这一段的讲解
存在这样的实数二，所以 a 与 b 共线，而且这个 λ 就是二。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把数乘的结果当成一个数（它仍是向量）
- 以为共线定理里的 λ 可以取多个值（它唯一）
- 忽略「b 不是零向量」这个前提
- 把 λ 小于零的向量说成方向与 a 相同
看完自测（3 题）
λa 的模等于什么？
看答案与理由
答： 等于 |λ| 乘 |a|，即 |λa| = |λ|·|a|。
为什么： 长度按倍数伸缩，倍数取绝对值。
λ 小于零时 λa 的方向怎样？
看答案与理由
答： 与 a 的方向相反。
为什么： 负号只负责掉头，不改变共线这一点。
共线定理的前提是什么？
看答案与理由
答： b 不是零向量；此时 a 与 b 共线当且仅当存在唯一实数 λ 使 a = λb。
为什么： 零向量方向任意，不能作为基准。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。