向量的数量积及 a·b=|a||b|cosθ
公式初稿待审bx2-c9-s2-k4
一句话 · 两个向量的数量积等于它们模的乘积再乘夹角的余弦，结果是一个实数；几何上它是一方的模乘以另一方在它方向上的投影，且 a·a = |a|²。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
加、减、数乘的结果都是向量
向量能相加，能相减，也能数乘。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 6 段例题
a·b = 3 × 2 × cos(π/3)
= 3 × 2 × 1/2 = 3
卡住了？展开这一段的讲解
例一：a 的模是三，b 的模是二，夹角是三分之 π。代入公式，三乘二再乘二分之一，得三。
- 2第 7 段例题
θ = π/2 ⇒ cosθ = 0
a·b = 0
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例二：夹角换成直角。余弦等于零，数量积也就是零。
- 3第 8 段例题
θ = π ⇒ cosθ = −1
a·b = −|a||b| = −6
卡住了？展开这一段的讲解
例三：夹角是 π，也就是两个向量反向。余弦等于负一，数量积是负数。
- 4第 9 段例题
a·a = |a||a|cos0 = |a|²
|a| = 4 ⇒ a·a = 16
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例四：a 与自己的夹角是零，余弦等于一。所以 a·a 等于 a 的模的平方。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把数量积的结果写成向量（a·b 是数，不是向量）
- 求夹角时取了外角，没有把两个向量平移到同一起点
- 把 |a||b| 直接当成 a·b，漏掉余弦因子
- 忘记夹角范围为 [0, π]，写出大于 π 的夹角
看完自测（3 题）
a·b 的结果是向量还是数？
看答案与理由
答： 是一个实数。
为什么： 定义里两个模与余弦都是数，乘起来仍然是数。
数量积的几何意义是什么？
看答案与理由
答： 一方的模乘以另一方在它方向上的投影长度。
为什么： 投影长恰好是另一方的模乘夹角余弦。
a·a 等于什么？
看答案与理由
答： 等于 |a|²。
为什么： a 与自己的夹角为 0，余弦为 1。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。