用数量积求向量的模、夹角与垂直判定
方法初稿待审bx2-c9-s2-k5
一句话 · 数量积是求模、求夹角与判断垂直的统一工具：|a| = √(a·a)，cosθ = (a·b)/(|a||b|)，而 a⊥b 等价于 a·b = 0（要求两个向量都非零）。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
数量积能用来做什么
数量积我们已经会算了。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
|a+b|² = |a|² + |b|² + 2a·b
= 4 + 9 + 6 = 19
|a+b| = √19
卡住了？展开这一段的讲解
例一：两个模分别是二和三，夹角六十度，求 a 加 b 的模。先平方展开，再开方。
- 2第 8 段例题
cosθ = 3 / (2 × 3) = 1/2
θ = π/3
卡住了？展开这一段的讲解
例二：两个模分别是二和三，数量积是三，求它们的夹角。余弦等于二分之一，夹角是三分之 π。
- 3第 9 段例题
|a| = 2，|b| = 3，θ = π/3 ⇒ a·b = 3
(a+kb)·a = |a|² + k(a·b) = 4 + 3k
4 + 3k = 0 ⇒ k = −4/3
卡住了？展开这一段的讲解
例三：用一个垂直条件求参数。a 加 k 倍的 b 与 a 垂直，说明它们的数量积为零。解得 k 等于负三分之四。
- 4第 10 段例题
|a−b|² = |a|² + |b|² − 2a·b
= 9 + 4 − 6 = 7
|a−b| = √7
卡住了？展开这一段的讲解
例四：求 a 减 b 的模，方法和求 a 加 b 一样。展开时注意中间那一项要变号。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 |a+b| 直接写成 |a|+|b|（模不能简单相加）
- 展开 |a+b|² 时漏掉 2a·b 这一项
- 用 a·b = 0 判断垂直时忽略「两个向量都非零」这个前提
- 由 cosθ 的值求角时把钝角漏掉，只写锐角那个解
看完自测（3 题）
已知 a·b 与两个模，怎么求夹角？
看答案与理由
答： 先算 cosθ = (a·b)/(|a||b|)，再由 θ ∈ [0, π] 确定角。
为什么： 夹角公式就是数量积公式的变形。
求 |a+b| 的一般步骤是什么？
看答案与理由
答： 先算 |a+b|² = |a|² + 2a·b + |b|²，再开方。
为什么： 模的平方才是数量积，模本身不能直接展开。
判断两个向量垂直要注意什么？
看答案与理由
答： a·b = 0 与 a⊥b 等价，但要求 a、b 都是非零向量。
为什么： 零向量与任何向量的数量积都为零，此时谈不上垂直。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。