用「两组对边平行」判平行四边形时忽略共面前提
易错初稿待审bx2-c13-s2-k6
一句话 · 两组对边分别平行时，两条平行线确定一个平面，四点必共面，所以仍是平行四边形；换成两组对边分别相等就没有共面的保证。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
平面内：两组对边分别平行 ⇒ 平行四边形
空间里的四边形多了「共面」这件事
平面里判平行四边形有现成的办法。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 6 段例题
已知：四边形 ABCD 中 AB∥CD，AD∥BC
求证：四边形 ABCD 是平行四边形
证明：由 AB∥CD 得直线 AB 与 CD 确定平面 α
⇒ 四点共面；在 α 内两组对边分别平行
⇒ 四边形 ABCD 是平行四边形
卡住了？展开这一段的讲解
看一道证明题：把共面那一步补上，推理才完整。
- 2第 7 段例题
正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中看四边形 ABC₁D₁
AB∥D₁C₁，AD₁∥BC₁
两组对边分别平行，所以它是平行四边形
四点共面由「平行线确定平面」直接得到
卡住了？展开这一段的讲解
正方体里也有两组对边分别平行的四边形，可以拿来对照。
- 3第 9 段例题
正四面体 ABCD，四条边长都是 1
顺次连接四个顶点，得到四边形 ABCD
AB = CD = 1，BC = AD = 1
但四个顶点不共面
所以它不是平行四边形
卡住了？展开这一段的讲解
取正四面体的四个顶点：两组对边长度都相等，四点却不共面。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 判平行四边形时只验证两组对边分别平行，完全不提「四点共面」这一步（结论对，但推理不完整）
- 把「两组对边分别相等」也当成平行四边形的判据 —— 正四面体的四个顶点、或把平行四边形沿对角线折起后的四个顶点，两组对边分别相等，四点却不共面
- 误以为空间四边形的两组对边有可能分别平行（两组对边平行必然推出四点共面，与空间四边形矛盾）
- 把「一组对边平行」当成「一组对边平行且相等」，少用了判定定理里的另一个条件
- 把平面内的判定定理直接搬到空间，却没有先说清四条边落在同一个平面内
看完自测（3 题）
「两组对边分别平行 ⇒ 平行四边形」在空间里成立吗？
看答案与理由
答： 成立。AB∥CD 说明直线 AB 与直线 CD 平行，两条平行直线确定一个平面，所以 A、B、C、D 四点共面；再在这个平面内用平面几何的判定定理即可。
为什么： 关键是「两条平行直线确定一个平面」这一推论，它让共面前提自动满足；但结论成立不等于推理可以省步骤，写证明时要把它写出来。
为什么说「两组对边分别相等」不能判定平行四边形？
看答案与理由
答： 因为它推不出四点共面。取正四面体的四个顶点顺次连接，两组对边分别相等（都等于棱长），但四个顶点不共面，四边形不是平行四边形。
为什么： 「平行」能带来共面，「相等」不能。这正是共面前提真正起作用的地方：必须先共面，才谈得上平行四边形。
证明一个空间四边形是平行四边形，完整的过程应该包含哪两步？
看答案与理由
答： 第一步说明四点共面：由一组对边平行得到两条平行直线，它们确定一个平面，四点都在这个平面内。第二步在这个平面内说明两组对边分别平行，从而判定为平行四边形。
为什么： 两步缺一不可：没有第一步，平面几何的判定定理就无立足之地；没有第二步，平行四边形的结论无从得出。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。