空间中直线与直线的位置关系（平行、相交、异面）
概念初稿待审bx2-c13-s2-k2
一句话 · 空间中两条直线按是否共面分成三类：共面的有相交（一个公共点）与平行（没有公共点），不共面的叫异面直线；判定异面常用「过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线异面」。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
平面内两条直线：相交或平行，只有两种
空间中还有第三种关系
在平面内，两条直线不相交就一定平行。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
反证：假设 PA 与 a 在同一个平面 β 内
由 a 在 β 内、A 在 β 内，且 A 不在 a 上
推论 1：直线 a 与线外一点 A 确定唯一的平面
又 a 在 α 内、A 在 α 内，所以平面 β 就是平面 α
于是 P 在 α 内，与 P 在 α 外矛盾
所以假设不成立，PA 与 a 异面
卡住了？展开这一段的讲解
为什么它一定异面？用反证法，再加上上一节的推论一。
- 2第 9 段例题
AB 与 CD：平行（共面且没有公共点）
AB 与 BC：相交（公共点是 B）
AB 与 A′D′：异面（不共面）
AB 与 B′C′：异面（不共面）
判断顺序：先找公共点，再看能否共面
卡住了？展开这一段的讲解
例一：在正方体里，逐组判断两条直线的位置关系。
- 3第 10 段例题
正方体共 12 条棱，与 AB 不同的有 11 条
与 AB 平行的有 3 条：CD、A′B′、C′D′
与 AB 相交的有 4 条：AD、AA′、BC、BB′
剩下的 11 − 3 − 4 = 4 条都与 AB 异面
答：与棱 AB 异面的棱有 4 条
卡住了？展开这一段的讲解
例二：数一数，与一条棱异面的棱共有几条。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 以为「没有公共点」就等于平行，忘了还有异面（异面直线同样没有公共点）
- 由「分别在两个平面内」就断定两条直线平行或异面，忽略了它们也可能相交
- 把「不同在任何一个平面内」误读成「不在某一个平面内」，等价说法是找不到同时包含它们的平面
- 判断位置关系时只看图形是否相交，没有回到「能否共面」这个唯一标准
- 忘记平行在空间中仍有传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行
看完自测（3 题）
空间中两条直线按什么标准分类？分成哪几类？
看答案与理由
答： 按是否共面分类，分成相交、平行、异面三类：相交是共面且有一个公共点，平行是共面且没有公共点，异面是不同在任何一个平面内。
为什么： 共面是唯一标准。相交与平行都发生在同一个平面内，异面则是找不到这样的平面；抓住这一条，后面所有判断都不会乱。
「两条直线没有公共点」能不能推出它们平行？
看答案与理由
答： 不能。平行与异面都没有公共点，区别在于是否共面：共面且无公共点才是平行，不共面就是异面。
为什么： 这是本节最高频的错误。空间里「无公共点」对应两种关系，只有回到共面与否才能区分。
分别在两个平面内的两条直线，位置关系能确定吗？
看答案与理由
答： 不能确定。它们可能平行、可能相交，也可能异面，取决于两条直线具体的摆放。
为什么： 两个平面本身可以相交也可以平行，直线在各自平面内还有各种位置；把「分别在两个平面内」当成判据，就会漏掉另外两种情形。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。