异面直线所成的角与线面角的求法
方法初稿待审bx2-c13-s2-k5
一句话 · 异面直线所成的角用平移法求，范围 (0°, 90°]；线面角用垂线找射影求，范围 [0°, 90°]。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
异面直线：不同在任何一个平面内
它们既不相交，也不平行
没有公共点，就没有现成的角可以量
问题：怎样刻画它们张开的程度
上节认识了异面直线，它们不同在任何一个平面内。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求 A₁B 与 B₁C 所成的角
平移：A₁B∥D₁C，所求角等于 ∠D₁CB₁
D₁C、CB₁、D₁B₁ 都是面对角线，长都是 √2
△D₁CB₁ 三边相等 ⇒ 所成角 60°
卡住了？展开这一段的讲解
在正方体里求异面直线所成的角，先平移，再放进三角形。
- 2第 9 段例题
证 AC⊥平面 BDD₁B₁
AC⊥BD，AC⊥DD₁ ⇒ AC⊥平面 BDD₁B₁
体对角线 BD₁ 在该平面内 ⇒ AC⊥BD₁
所成角 90°，两条异面直线互相垂直
卡住了？展开这一段的讲解
再看一个直角的情形：正方体里，底面对角线与体对角线可以垂直。
- 3第 10 段例题
A₁C 与平面 ABCD 交于 C
A₁ 在底面的射影是 A，射影为 AC
tan∠A₁CA = AA₁ ÷ AC = 1 ÷ √2 = √2 ÷ 2
所成角的正切值为 √2 ÷ 2
卡住了？展开这一段的讲解
求线面角先找射影，把斜线投影到底面上，再量它与射影的夹角。
- 4第 11 段例题
A₁C₁ 与平面 ABB₁A₁ 交于 A₁
C₁ 在平面 ABB₁A₁ 内的射影是 B₁
射影为 A₁B₁，所求角为 ∠C₁A₁B₁
sin∠C₁A₁B₁ = 1 ÷ √2 ⇒ 45°
卡住了？展开这一段的讲解
同一个正方体，换一条斜线和一个平面，射影变了，角也变了。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把异面直线所成的角当成可以取钝角（定义只取锐角或直角，范围是 (0°, 90°]）
- 把斜线上任意一点与斜足的连线当成射影（射影的两端必须是垂足与斜足）
- 忘记异面直线所成角取不到 0°：两条异面直线不平行，平移后不可能重合
- 把线面角与异面直线所成角的范围混为一谈（线面角含 0°，异面直线所成角不含 0°）
- 平移时只平移一部分、方向弄反，导致量到的角是所求角的补角
看完自测（3 题）
两条异面直线所成的角，为什么要先平移？
看答案与理由
答： 因为异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点，无法直接量出夹角。平移不改变方向，把其中一条平移到与另一条相交，就能在同一个平面内量出方向之间的夹角。
为什么： 关键在于「平移不改变方向」：所以平移后的角与原直线的方向之间的角是同一个，而平移到哪个点都不影响结果。
异面直线所成的角能不能取 0°？能不能取 90°？
看答案与理由
答： 不能取 0°，因为两条异面直线不平行，平移后不会重合；能取 90°，此时称这两条异面直线互相垂直。所以范围是 (0°, 90°]。
为什么： 0° 对应两条直线平行或重合，这与异面矛盾；90° 对应方向互相垂直，异面直线完全可以垂直。
直线与平面所成的角一共有几种情形？范围是什么？
看答案与理由
答： 三种：直线在平面内或与平面平行时为 0°；直线与平面垂直时为 90°；其余（斜线）时为斜线与它在平面内的射影所成的角。范围是 [0°, 90°]。
为什么： 线面角的两端都取得到，所以是闭区间；而异面直线所成角取不到 0°，两者的范围容易混，要分清。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。