数数学小站

证明线面平行与面面平行（判定与性质）

方法初稿待审

bx2-c13-s2-k3

一句话 · 证平行的核心动作是「在平面内找一条平行线」：线面平行判定把线线平行升级为线面平行，面面平行判定需要一个面内两条相交直线都平行于另一个面；性质定理则反过来，把线面平行、面面平行化回线线平行。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

线面平行的定义：直线与平面没有公共点

直线无限长、平面无限大，无法逐个检查

所以需要判定定理，把线面问题化成线线问题

本节主线：线线平行 → 线面平行 → 面面平行

讲稿

要证线面平行，用定义去查「没有公共点」，根本查不完。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 三棱柱 ABC-A′B′C′ 中，D、E 分别是 AB、BC 的中点

    • 在 △ABC 中，DE 是中位线，所以 DE ∥ AC

    • AC 在平面 ACC′A′ 内

    • D 不在平面 ACC′A′ 内，所以 DE 也不在这个平面内

    • 由判定定理：DE ∥ 平面 ACC′A′

    卡住了？展开这一段的讲解

    例一：三棱柱里，中位线给出平行线，线面平行就成立了。

  2. 2第 9 段例题

    • D′、E′ 分别是 A′B′、B′C′ 的中点

    • 在 △ABC 中 DE ∥ AC，AC 在平面 ACC′A′ 内 ⇒ DE ∥ 平面 ACC′A′

    • DD′ ∥ AA′（由棱柱的侧棱平行且相等推出）

    • AA′ 在平面 ACC′A′ 内 ⇒ DD′ ∥ 平面 ACC′A′

    • DE 与 DD′ 相交于点 D，且都在平面 DEE′D′ 内

    • 由判定定理：平面 DEE′D′ ∥ 平面 ACC′A′

    卡住了？展开这一段的讲解

    例二：再取上底面的两个中点，得到两条相交直线，都平行于同一个平面。

  3. 3第 10 段例题

    • 已知 a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = b，求证 a ∥ b

    • 因为 a ⊂ β、b ⊂ β，所以只要证 a 与 b 没有公共点

    • 反证：假设 a 与 b 有公共点 P

    • 则 P 既在 a 上，又在 b 上，而 b ⊂ α，于是 P ∈ a ∩ α

    • 这与 a ∥ α（a 与 α 没有公共点）矛盾

    • 所以 a ∥ b

    卡住了？展开这一段的讲解

    例三：把线面平行的性质定理完整证一遍，用的是反证法。

  4. 4第 11 段例题

    • 已知 α ∥ β，直线 a ⊂ α，求证 a ∥ β

    • 因为 a ⊂ α，而 α 与 β 没有公共点

    • 所以 a 与 β 也没有公共点

    • 又 a 不可能在 β 内（否则 a ⊂ α ∩ β，与两面无公共点矛盾）

    • 所以 a ∥ β

    卡住了？展开这一段的讲解

    例四：用面面平行的性质说明，一个面内的直线平行于另一个面。

③章节训练

第13章 立体几何初步 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

105 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

16 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 用线面平行判定时漏掉「直线在平面外」，把平面内的一条直线说成与这个平面平行
  • 用线面平行判定时漏掉「直线在平面内」，用面外的一条平行线当依据
  • 面面平行判定中把「两条相交直线」错记成「两条平行直线」，条件不够却当成够用
  • 用线面平行性质定理时不交代所过的平面与原平面相交，交线并不存在
  • 只会背定理，不会在图中找平行线：中位线、平行四边形对边、棱柱侧棱这些来源没建立联系

看完自测（3 题）

  • 证明直线 a 与平面 α 平行，判定定理要求哪几个条件？

    看答案与理由

    答： 三个条件：a 在平面 α 外（a ⊄ α）、平面 α 内有一条直线 b（b ⊂ α）、且 a ∥ b。三条同时满足才有 a ∥ α。

    为什么： 「在平面外」保证不是线在面内这种平凡情形，「在平面内」保证平行线有落脚点。少任何一条，判定定理就不能用。

  • 证明两个平面平行，为什么必须在其中一个平面内找两条相交直线？

    看答案与理由

    答： 因为判定定理要求这两条直线相交：只有两条平行直线都平行于另一个平面时，两个平面仍可能相交。

    为什么： 一条直线只固定一个方向，一个平面有两个方向；两条相交直线才能把平面内的方向都卡住，从而把整个平面「锁」成与另一个平面平行。

  • 已知 a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = b，能得出什么结论？依据是什么？

    看答案与理由

    答： 可以得出 a ∥ b，依据是线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则它与过该直线的平面和该平面的交线平行。

    为什么： 这条定理的作用是把「线面平行」再翻译回「线线平行」。用之前要确认两个平面确实相交，交线 b 才存在。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
passed
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。