证明线面垂直与面面垂直（判定与性质）
方法初稿待审bx2-c13-s2-k4
一句话 · 证明垂直的主线是「线线垂直 ⇒ 线面垂直 ⇒ 面面垂直」：线面垂直的判定要与面内两条相交直线都垂直，面面垂直的判定要有一条平面的垂线；性质定理则反过来，把面面垂直化回线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
「任意一条」是无限的，没法逐个验证
所以需要判定定理，用有限条直线代替「任意一条」
本节主线：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直
线面垂直的定义要求与平面内任意一条直线都垂直，验不完。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
正方体 ABCD-A′B′C′D′，设棱长为 1
AC ⊥ BD（正方形的两条对角线互相垂直）
BB′ ⊥ 平面 ABCD，所以 BB′ ⊥ AC
BD 与 BB′ 相交于点 B，且都在平面 BB′D′D 内
由判定定理：AC ⊥ 平面 BB′D′D
卡住了？展开这一段的讲解
例一：在正方体里，用两条相交直线证明线面垂直。
- 2第 9 段例题
BB′ ⊥ 平面 ABCD（正方体的侧棱垂直底面）
BB′ 在平面 BB′D′D 内
由面面垂直的判定定理：平面 BB′D′D ⊥ 平面 ABCD
也可以反过来用判定定理：AC ⊥ 平面 BB′D′D，而 AC 在平面 ABCD 内 ⇒ 平面 ABCD ⊥ 平面 BB′D′D
卡住了？展开这一段的讲解
例二：把刚才那个平面再看一眼，它过了一条底面的垂线。
- 3第 10 段例题
已知 α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ α，a ⊥ l，求证 a ⊥ β
在平面 β 内过 a 与 l 的垂足 P 作直线 b ⊥ l
由 α ⊥ β 知二面角是直二面角，所以 a ⊥ b
又 a ⊥ l，而 l 与 b 是平面 β 内的两条相交直线
由线面垂直的判定定理：a ⊥ β
卡住了？展开这一段的讲解
例三：把面面垂直的性质定理证一遍，关键是在另一个面内作垂线。
- 4第 11 段例题
由例一已得 AC ⊥ 平面 BB′D′D
BD′ 在平面 BB′D′D 内
由线面垂直的性质：AC ⊥ BD′
这条链条是：线面垂直 ⇒ 线线垂直
反过来用：证线线垂直，可以先去证线面垂直
卡住了？展开这一段的讲解
例四：线面垂直一旦成立，面内的每一条直线都与它垂直。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 只与平面内的一条直线垂直就判定线面垂直，忘记必须是两条相交直线
- 把判定定理里的「两条相交直线」记成「两条平行直线」，条件不够却当成够用
- 由两个平面垂直直接得出一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面
- 用面面垂直的性质定理时忘记「在面内作交线的垂线」这个前提
- 记混线面垂直与面面垂直的性质定理，把结论张冠李戴
看完自测（3 题）
判定直线 l 与平面 α 垂直，需要哪两个关键条件？
看答案与理由
答： 平面 α 内有两条相交直线 m、n，且 l 与 m、n 都垂直。两条直线必须相交，缺一不可。
为什么： 一条直线只固定一个方向，平面的方向要靠两条相交直线才卡得住；这也是判定定理里「相交」二字不能少的原因。
已知两个平面 α ⊥ β，α ∩ β = l，能否说平面 α 内的任意一条直线都垂直于平面 β？
看答案与理由
答： 不能。只有平面 α 内垂直于交线 l 的那条直线才垂直于平面 β，其余直线与平面 β 一般不垂直。
为什么： 面面垂直给出的是两个平面之间的位置关系，不会自动传递到面内的每条直线；要得到线面垂直，必须先在面内作交线的垂线。
怎样由线面垂直得到线线垂直？
看答案与理由
答： 若 l ⊥ α，且 m 在平面 α 内，则 l ⊥ m。也即直线垂直于一个平面，就垂直于这个平面内的任意一条直线。
为什么： 这条性质是「线面垂直 ⇒ 线线垂直」的通道，很多证明题先证线面垂直，再一句话得到所需的线线垂直。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。