三角函数式的化简与恒等式证明

方法初稿待审

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一句话 · 化简三角式的三件工具：切化弦统一成 sin 与 cos、用 sin²α+cos²α=1 消项、再因式分解或通分约分；证明恒等式一律从复杂的一边向简单的一边化简。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 14第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

化简的目标：式子变简单，值不变

讲稿

同一个三角函数式可以有好多张面孔。

6 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 先把 tan α 化弦
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：化简 tan α 乘 cos α。
2第 8 段例题
- tan α · cos α
- = (sin α / cos α) · cos α = sin α
卡住了？展开这一段的讲解
思路：把 tan α 写成 sin α 比 cos α。它与后面的 cos α 约掉，就剩 sin α。
3第 9 段例题
- 1 − sin²α = cos²α
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：化简 1 减 sin α 平方的差，再除以 cos α。
4第 10 段例题
- (1 − sin²α) / cos α
- = cos²α / cos α = cos α
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：把 1 看成 sin²α 加 cos²α 的和。分子就变成 cos²α，约分得 cos α。
5第 11 段例题
- 四次方不能直接合并
- 认出它其实是完全平方
卡住了？展开这一段的讲解
例 3：证明一个等式。sin α 的 4 次方加两倍 sin²α cos²α，再加 cos α 的 4 次方等于 1。
6第 12 段例题
- = (sin²α + cos²α)²
- = 1² = 1
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：它正好是 sin²α 加 cos²α 的平方。括号里等于 1，整体也就是 1。

第7章三角函数 · 限时综合卷

题量

23 题

总分

140 分

限时

95 分钟

覆盖知识点

23 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

化简 tan α · cos α 的第一步做什么？
看答案与理由
答：把 tan α 写成 sin α / cos α，即切化弦。
为什么： 化弦之后函数统一，才能与 cos α 约分。
1 − sin²α 可以化成什么？
看答案与理由
答： cos²α。
为什么： 由 sin²α+cos²α=1 移项得到。
证明恒等式时应该从哪一边开始？
看答案与理由
答：从结构复杂的一边开始，向简单的一边化简。
为什么： 复杂边可用的变形手段多，方向明确不会绕圈。

未填密钥

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