同角三角函数的基本关系（平方关系与商数关系）

公式初稿待审

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一句话 · 同角三角函数的两个基本关系：平方关系 sin²α+cos²α=1；商数关系 tanα=sinα/cosα（cosα≠0）。两者对任意角都成立，只要式子有意义。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

从锐角的正弦余弦关系推广到任意角

讲稿

初中在直角三角形里就有两条关系式。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：验证 α 等于 30 度时平方关系成立。
2第 9 段例题
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1
卡住了？展开这一段的讲解
四分之一加四分之三等于 1。平方关系在锐角上果然成立。
3第 10 段例题
- cos²α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：已知正弦为 3/5，用平方关系求余弦的平方。
4第 11 段例题
- cos α = ±4/5
- 符号由象限决定
卡住了？展开这一段的讲解
注意：这个式子只给出平方。余弦本身取正还是取负，要再看角所在的象限。

第7章三角函数 · 限时综合卷

题量

23 题

总分

140 分

限时

95 分钟

覆盖知识点

23 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

平方关系是怎么证明的？
看答案与理由
答：把正弦、余弦都写成坐标与距离的比，两个平方的分母同为 r 平方，分子相加得 r 平方。
为什么： sin²α+cos²α=(y²+x²)/r²=r²/r²=1，关键是用到 x²+y²=r²。
商数关系在什么条件下成立？
看答案与理由
答：要求 cosα≠0，也就是角 α 的终边不落在 y 轴上时。
为什么： tanα=sinα/cosα 是分式，分母为零时没有意义。
已知 sinα=3/5，能直接说 cosα=4/5 吗？
看答案与理由
答：不能，只能得到 cos²α=16/25，即 cosα=±4/5，符号由象限决定。
为什么： 开平方有两个结果，必须先判断象限或分类讨论。

未填密钥

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