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一元二次不等式恒成立问题

方法初稿待审

bx1-c3-s3-k4

一句话 · 二次不等式恒成立看两件事：开口向上且与 x 轴没有交点，即二次项系数大于 0 且判别式小于 0；二次项系数可能为零时必须单独讨论。

开始练习（9 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

恒成立：对任意 x 都成立

讲稿

「对任意实数 x 都成立」这句话，在图象上是什么样子？

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • x²+2x+m>0 恒成立

    卡住了？展开这一段的讲解

    例题：x 方加 2x 加 m 大于 0 对任意实数恒成立，求 m 的范围。

  2. 2第 8 段例题

    • Δ=4-4m<0 ⇒ m>1

    卡住了？展开这一段的讲解

    开口已经向上，只要判别式小于 0。

  3. 3第 9 段例题

    • ≥0 恒成立 ⇔ a>0 且 Δ≤0

    卡住了？展开这一段的讲解

    如果改成大于等于 0 恒成立，判别式就可以等于 0。

  4. 4第 10 段例题

    • mx²+2mx+3>0 恒成立

    • m=0：3>0 恒成立

    • m≠0：m>0 且 Δ<0

    卡住了？展开这一段的讲解

    再看带参数的：m x 方加 2m x 加 3 大于 0 恒成立。先说 m 能不能等于 0。

③章节训练

第3章 不等式 · 限时综合卷

题量

18 题

总分

105 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

18 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 只写判别式小于 0，忘记开口方向
  • 漏掉二次项系数为零的退化情形
  • 把大于与大于等于混用，端点取错
  • 把判别式小于 0 与小于等于 0 弄混

看完自测（3 题）

  • 当二次项系数不为 0 时，ax²+bx+c>0 对任意实数恒成立的条件是什么？

    看答案与理由

    答： 二次项系数大于 0 且判别式小于 0。

    为什么： 开口向上保证有下界，判别式小于 0 保证图象与 x 轴没有交点，函数值恒正。

  • 为什么二次项系数可能为零时要单独讨论？

    看答案与理由

    答： 因为此时不等式不是二次不等式，判别式没有意义，要按一次不等式或常数判断。

    为什么： 例如系数为 0 而常数项为正时，不等式同样恒成立。

  • 把大于改成大于等于，条件要怎么改？

    看答案与理由

    答： 判别式由小于 0 放宽为小于等于 0。

    为什么： 图象与 x 轴相切时函数值最小为 0，仍然满足大于等于 0。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。