向量的线性运算与几何图形的对应关系（用向量表示线段比）
模型初稿待审bx2-c9-s4-k3
一句话 · 若 P 在 AB 上且 AP : PB = m : n，则 OP = (n·OA + m·OB)/(m+n)，系数与线段比交叉；m = n 时退化为中点公式。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
点在直线上的位置 ⇔ 向量
把「位置」翻译成「向量的表达式」
这一节只解决一件事：点在直线上的位置，怎么用向量写出来。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
A(0,0)、B(4,0)，AP : PB = 1 : 3
求 P 的位置向量
卡住了？展开这一段的讲解
例一：直线 AB 上，A 的坐标是 0 逗号 0，B 是 4 逗号 0。AP 比 PB 等于 1 比 3，求 P 的坐标。
- 2第 10 段例题
m = 1、n = 3 ⇒ 分母 = 4
OP = (3·OA + 1·OB)/4 = ((3·0+1·4)/4, (3·0+1·0)/4)
= (1, 0)
卡住了？展开这一段的讲解
代入公式。m 等于 1、n 等于 3。则 n 乘 O A 加 m 乘 O B 除以 m 加 n。
- 3第 11 段例题
|AB| = 4，AP = (1/4)·|AB| = 1
卡住了？展开这一段的讲解
再验一次。AB 的长是 4，AP 占四分之一即 1，P 确实落在离 A 一格处。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把系数照抄线段比，写成 OP = (m·OA + n·OB)/(m+n)
- 忘掉位置向量必须由 OA、OB 这两个同起点向量表示
- 把 OP 写成 (1/2)·AB 这类只用 AB 的式子
- 比值单位不同（如 AP:PB = 2:1 却当成 1:2）代入
- 把分母写成 m·n 或漏掉分母
看完自测（3 题）
P 在 AB 上且 AP : PB = 2 : 1，OP 用 OA、OB 怎么表示？
看答案与理由
答： OP = (1·OA + 2·OB)/3。
为什么： 系数与线段比交叉：A 对应 PB 那份 1，B 对应 AP 那份 2。
公式里分母为什么是 m + n？
看答案与理由
答： 因为两个系数之和必须为 1，OP 才是 OA 与 OB 的加权平均。
为什么： 系数和为 1 时，P 才落在线段 AB 上而不是直线外。
P 是 AB 中点时公式变成什么？
看答案与理由
答： OP = (OA + OB)/2。
为什么： m = n 时两个系数都是二分之一，正是平均。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。