用向量证明平面几何命题（平行、垂直、共线）
方法初稿待审bx2-c9-s4-k1
一句话 · 向量法三步：选基底或建系，把几何条件翻译成向量等式，再用线性运算与数量积推出结论；平行用共线 a = λb，垂直用 a·b = 0。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
几何命题 → 向量等式
平面几何里的平行、垂直、共线，都能翻译成向量等式来证明。
②例题实操
5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
D、E 分别是 AB、AC 的中点
求证：DE ∥ BC
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：在三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。用向量证明 DE 与 BC 平行。
- 2第 8 段例题
AB = b，AC = c
AD = ½b，AE = ½c
卡住了？展开这一段的讲解
取基底。设向量 AB 为 b，向量 AC 为 c。由中点得 AD 等于二分之一 b，AE 等于二分之一 c。
- 3第 9 段例题
DE = AE − AD = ½(c − b)
BC = c − b
DE = ½BC ⇒ DE ∥ BC
卡住了？展开这一段的讲解
于是 DE 等于 AE 减 AD。代入得二分之一倍的 c 减 b，也就是二分之一 BC。所以 DE 与 BC 共线，中位线定理得证。
- 4第 10 段例题
菱形 ABCD：|a| = |b|
求证：AC ⊥ BD
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：用向量证明菱形的两条对角线互相垂直。设 AB 为 a，AD 为 b，菱形保证 a 与 b 的模相等。
- 5第 11 段例题
AC = a + b，BD = b − a
AC·BD = (a + b)·(b − a) = |b|² − |a|²
|a| = |b| ⇒ AC·BD = 0 ⇒ AC ⊥ BD
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：把两条对角线写成 a 加 b 与 b 减 a。数量积等于 b 方减 a 方，也就是两个模的平方差。两模相等，差为零，故两条对角线垂直。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 要证共线却去算数量积（数量积为零判的是垂直）
- 由两向量平行直接推三点共线时，忘记说明它们有公共起点
- 把「两向量相等」与「两向量长度相等」混为一谈
看完自测（3 题）
用向量法证明几何命题的三步是什么？
看答案与理由
答： 选基底（或建系）；把几何条件翻译成向量等式；用向量运算推出结论再翻译回几何语言。
为什么： 先把几何语言换成向量语言，才谈得上运算。
证明两条直线平行、垂直，分别翻译成什么向量等式？
看答案与理由
答： 平行翻译成两方向向量共线 a = λb；垂直翻译成数量积为零 a·b = 0。
为什么： 共线刻画方向相同或相反，数量积为零刻画夹角是直角。
要证明 A、B、C 三点共线，写成 AB 与 AC 共线后还差一句什么？
看答案与理由
答： 要说明这两个向量有公共起点 A，才能由平行推出三点在同一条直线上。
为什么： 共线的是两条有向线段，公共起点才能保证它们落在同一条直线上。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。