把向量等式直接当成数量等式处理（忽略方向）
易错初稿待审bx2-c9-s4-k4
一句话 · 向量比数量多一个方向维度：a·b = a·c 只能推出 a ⊥ (b − c)，推不出 b = c；|a| = |b| 也只说明模相同，还得看方向。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
向量 ≠ 数量
多出的那一维就是方向
这一节讲一类错法：把向量的式子当成数量的式子来处理。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
a=(1,0)、b=(0,1)、c=(0,5)
卡住了？展开这一段的讲解
看一个最省事的反例。取 a 是 1 逗号 0，b 是 0 逗号 1。再取 c 是 0 逗号 5。
- 2第 9 段例题
a·b = 0 且 a·c = 0，但 b ≠ c
卡住了？展开这一段的讲解
算一算：a 点乘 b 等于 0，a 点乘 c 也等于 0，确实相等。可是 b 不等于 c。
- 3第 10 段例题
b − c = (0,−4) ≠ 0
a·(b − c) = 1×0 + 0×(−4) = 0
卡住了？展开这一段的讲解
看清楚：a 与 b 减 c 垂直。b 减 c 是 0 逗号负 4，它并不是零向量。
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 由 a·b = a·c 且 a ≠ 0 推出 b = c（数量积没有消去律）
- 由 |a| = |b| 推出 a = b（忽略了方向）
- 把 a·b = 0 直接读成 b = 0
- 把向量的减法 b − c 当成数来约分
- 以为向量等式两边可以同除一个向量
看完自测（3 题）
由 a·b = a·c 且 a ≠ 0，能得到什么结论？
看答案与理由
答： 只能得到 a·(b − c) = 0，即 a ⊥ (b − c)。
为什么： 数量积没有消去律，因为数量积把方向信息丢掉了。
|a| = |b| 能不能说明 a = b？
看答案与理由
答： 不能，只能说明模相等，方向可能相反，只能说 a = ±b 是可能的。
为什么： 向量相等要求模相等且方向相同，缺一不可。
为什么数量积不能像数那样约分？
看答案与理由
答： 因为数量积记录的是投影，投影相同并不代表向量相同。
为什么： a·b = |a||b|cosθ，同一个投影值可以对应许多方向不同的 b。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。