解三角形与面积公式 S=½absinC 的综合应用

模型初稿待审

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一句话 · 三角形面积的三条等价公式 S = ½ab sinC = ½bc sinA = ½ca sinB，取的必须是两条边与它们的夹角。已知两边夹角就直接代入；已知三边先用余弦定理求出角的余弦与正弦；已知两角一边先用正弦定理补出第二条边。反向使用时可解出 c = 2S/(b sinA)、sinC = 2S/(ab)、ab = 2S/sinC，其中由正弦值反求角一般有两个候选，必须再用别的条件筛。与余弦定理联用时，面积提供 ab·sinC、余弦定理提供 a² + b² − 2ab·cosC，两者配合可以整体求出两边的和与积。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

正弦定理及其变形（边角互化）

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

已知两边与夹角、已知三边、已知两角一边，都能求面积

面积公式把边与角同时装进一个式子里

所以它常常是把已知条件串起来的那座桥

这一节讲三件事：公式怎么写、什么时候用哪条、怎么与两个定理联用

讲稿

面积也是解三角形能算的一个量。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 在 △ABC 中，a = 2，b = 3，C = π/3，求面积 S 与边 c
- S = ½ab sinC = ½ × 2 × 3 × sin(π/3) = 3√3/2
- 第三边用余弦定理：c² = a² + b² − 2ab cosC = 4 + 9 − 6 = 7
- c = √7
- 答：S = 3√3/2，c = √7
卡住了？展开这一段的讲解
第一题两边夹角都给齐了，面积一步到位。
2第 9 段例题
- 在 △ABC 中，a = 2，b = 3，S = 3√3/2，求角 C
- 由 sinC = 2S/(ab) = 3√3/6 = √3/2，得 C = π/3 或 C = 2π/3
- 两个角都落在 (0, π) 内，都能构得成三角形，必须先看题目有没有补条件
- 若已知这是钝角三角形，则取 C = 2π/3
- 此时 c² = 4 + 9 − 12×(−1/2) = 19，c = √19
卡住了？展开这一段的讲解
第二题反过来，给面积求角，这里会出现两个候选。
3第 10 段例题
- 在 △ABC 中，S = 2√3，A = π/3，b = 4，求 c 与 a
- 由 S = ½bc sinA 得 c = 2S/(b sinA) = 4√3 ÷ (4 × √3/2) = 2
- 再用余弦定理求第三边：a² = b² + c² − 2bc cosA = 16 + 4 − 8 = 12
- a = 2√3 ≈ 3.46
- 核对：b = 4 最长，最大角是 B，与 a ≈ 3.46、c = 2 相符
卡住了？展开这一段的讲解
第三题给面积与一边一角，先把另一条边反求出来。
4第 11 段例题
- 在 △ABC 中，A = π/3，a = √13，b + c = 7，求面积 S
- 余弦定理：a² = b² + c² − 2bc cosA = b² + c² − bc = 13
- 由 (b + c)² = b² + c² + 2bc = 49 得 b² + c² = 49 − 2bc
- 代入：49 − 2bc − bc = 13，所以 3bc = 36，bc = 12
- S = ½bc sinA = ½ × 12 × sin(π/3) = 3√3
卡住了？展开这一段的讲解
第四题是主戏：面积与余弦定理联用，整体求出边积。

③章节训练

第11章解三角形 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

用 ½ab sinC 时取的两条边并不是所取角的邻边，配错了边与角
由 sinC = 2S/(ab) 求出正弦值后只取锐角，漏掉 π − C 这个候选
已知三边仍硬套面积公式，不愿意先用余弦定理求出一个角
把公式记成 ½abc sinC，多乘了一条边
面积与余弦定理联用时符号写错，把 a² = b² + c² − bc 抄成 a² = b² + c² + bc

看完自测（3 题）

为什么面积公式里的角必须是所取两条边的夹角？
看答案与理由
答：因为公式是从「底乘高」推出来的：高等于另一条边乘夹角的正弦，夹角换了，高就不是这个值。
为什么： 取 a 为底时，高是 b 与 a 的夹角 C 所决定的分量，只有取对夹角，½ab sinC 才等于真实面积。
已知两边与面积，求角时为什么常有两个答案？
看答案与理由
答：因为 sinC = 2S/(ab) 在 (0, π) 内一般有两个解 C 与 π − C，两个都能画出三角形。
为什么： 正弦函数在 (0, π) 上先增后减，同一个正弦值对应两个角；必须再给一个条件（钝角、最大角）才能定下来。
已知三边求面积，为什么第一步是余弦定理而不是面积公式？
看答案与理由
答：因为面积公式需要「两条边与夹角」，而三边里一个角都没有，先用余弦定理把某个角的余弦（进而正弦）求出来，才凑齐条件。
为什么： 先数清手里的条件，缺角就先求角，这是选择公式的通则。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: pending
段落数: 13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。