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测量高度问题（底部不可达的建筑物高度）

方法初稿待审

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一句话 · 底部不可达的建筑物高度要用两次观测：在同一铅垂面上取与楼底共线的两个点，分别测仰角 α（远）与 β（近），由 h = x·tanβ 与 h = (x + d)·tanα 消去 x 得 h = d·tanα·tanβ/(tanβ − tanα)；两点在楼两侧时分母换成两正切之和，β = 2α 时还可化简成 h = d·sin2α。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

问题：楼底不可到达（有围墙、有水、有基座）时的楼高

手里只有测角仪，外加一把能量水平距离的卷尺

办法：把楼高放进直角三角形，用仰角把角度换成长度

核心前提：仰角是视线与水平线的夹角

讲稿

楼高量不到，但视线与水平线的夹角能量得到。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 在距楼底 30 m 的地面上测得楼顶仰角 π/3

    • h = 30×tan(π/3) = 30√3 ≈ 52.0 (m)

    • 答：楼高 30√3 m

    卡住了？展开这一段的讲解

    第一题底部可达，量一段水平距离，测一次仰角就够。

  2. 2第 9 段例题

    • A、B 在楼同侧且与楼底共线，AB = 20 m

    • A 处仰角 π/6（远），B 处仰角 π/3（近）

    • 设 B 到楼底距离 x：x·tan(π/3) = (x + 20)·tan(π/6)

    • 解得 x = 10 m，h = 10×tan(π/3) = 10√3 ≈ 17.3 (m)

    • 答：楼高 10√3 m

    卡住了？展开这一段的讲解

    第二题底部不可达，同侧取两点，列两个方程联立。

  3. 3第 10 段例题

    • 把 β = 2α 代入 h = d·tanα·tanβ/(tanβ − tanα)

    • 用 tan2α = 2tanα/(1 − tan²α) 化简，得 h = d·sin2α

    • 这是 β = 2α 时的专用结论，不是通用公式

    • 例：d = 30 m、α = π/6，h = 30×sin(π/3) = 15√3 ≈ 26.0 (m)

    卡住了？展开这一段的讲解

    当近处的仰角正好是远处的两倍时，公式还能再简化。

  4. 4第 11 段例题

    • A、B 在楼的两侧，A、B 与楼底共线，AB = 40 m

    • A 处仰角 π/6，B 处仰角 π/4

    • h = 40×tan(π/6)×tan(π/4)/(tan(π/6) + tan(π/4))

    • h = 40/(1 + √3) = 20(√3 − 1) ≈ 14.6 (m)

    • 核对：h/tan(π/6) + h/tan(π/4) = 20(3 − √3) + 20(√3 − 1) = 40 (m)

    卡住了？展开这一段的讲解

    第四题楼在两个观测点之间，分母要换成相加。

③章节训练

第11章 解三角形 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 把近处较大的仰角当成远处的角代入，导致底高之差错位
  • 两点在楼两侧时仍套用同侧公式，分母该加却用减
  • 忘记测角仪的仪器高，把视线高度直接当成楼高
  • 两次观测不在同一铅垂面内，两个直角三角形不共面
  • 只测一次仰角就下结论，忽略水平距离也是未知量

看完自测（3 题）

  • 为什么底部不可达时必须做两次观测？

    看答案与理由

    答： 因为楼高 h 与观测点到楼底的水平距离 x 都是未知量，一次观测只给出一个方程 h = x·tanα，解不出来；两次观测给两个方程才能消元。

    为什么： 解三角形的第一件事是数未知量与独立方程的个数，一个方程配两个未知量一定定不下来。

  • 仰角与俯角的参照线是什么？

    看答案与理由

    答： 都是水平线：视线在水平线上方时这个角叫仰角，在下方时叫俯角。

    为什么： 参照线若是铅垂线或地面，同一视线的角会算出不同数值，公式 h = d·tanα 正是按水平参照线推出来的。

  • 两点在楼的两侧时，公式为什么变成分母相加？

    看答案与理由

    答： 设 A 到楼底距离 x，则 h = x·tanα 且 h = (d − x)·tanβ，两式分别给出 x = h/tanα 与 d − x = h/tanβ，相加得 d = h(1/tanα + 1/tanβ)，整理后分母就是 tanα + tanβ。

    为什么： 同侧时两段水平距离相减，两侧时相加，区别只来自 x 与 d − x 的位置关系。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。