正弦定理及其变形（边角互化）
公式初稿待审bx2-c11-s2-k1
一句话 · 正弦定理：在任何三角形中 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中 R 是外接圆半径。变形 a = 2R·sinA、sinA = a/(2R) 让边与角的正弦可以互相替换：齐次式能整体换，于是 a : b : c = sinA : sinB : sinC；次数不齐的式子不能直接换。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
任意 △ABC，边长 a、b、c 分别对着角 A、B、C
问题：a 与 sinA 的比是不是常数？
任意三角形里，边长与对角的正弦之间会不会有固定的比值？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
在 △ABC 中，A = π/6，B = π/4，a = 2
求 b
用 a/sinA = b/sinB，两条边都对着已知角
卡住了？展开这一段的讲解
第一道题。已知两个角与一条边，求另一条边。
- 2第 9 段例题
a/sinA = 2 / (1/2) = 4
b = 4·sinB = 4 × (√2/2) = 2√2
同时 2R = 4，所以外接圆半径 R = 2
卡住了？展开这一段的讲解
先把 a 除以 sinA 算出来，它等于四。
- 3第 10 段例题
A : B : C = π/6 : π/3 : π/2
a : b : c = sinA : sinB : sinC
= (1/2) : (√3/2) : 1 = 1 : √3 : 2
反过来看到 a : b : c = 1 : √3 : 2，也能断定三个角是这三个
卡住了？展开这一段的讲解
第二道是边角互化。三个角已知，三条边成什么比？
③章节训练
第11章 解三角形 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 2R 当成外接圆半径，忘记正弦定理的比值是直径
- 边角互化时没有检查式子是否齐次，直接对含平方的项替换
- 把 a : b : c = sinA : sinB : sinC 记成 a : b : c = A : B : C
- 已知两边与其中一边的对角求角时只写一个解，漏掉另一个可能
- 写 a = 2R·sinA 时配错角，把边 a 配给了 sinB
看完自测（3 题）
正弦定理里的常数 2R 是什么？
看答案与理由
答： 外接圆直径，R 是外接圆半径。
为什么： 每条边都是外接圆的一条弦，弦长等于 2R 乘它所对圆周角的正弦，所以比值恰好是直径。
已知 sinA : sinB : sinC = 1 : √3 : 2，能判断三角形的形状吗？
看答案与理由
答： 能，a : b : c 也是 1 : √3 : 2，三个角是 π/6、π/3、π/2，是直角三角形。
为什么： 边长之比等于对角正弦之比，这是正弦定理的直接推论；再配合特殊角的比值就能定出三个角。
式子 a + b² 能直接换成 2R·sinA + 4R²·sin²B 吗？
看答案与理由
答： 不能一次替换掉。a 带出公因式 2R，b² 带出 4R²，两项没有共同的公因式。
为什么： 边角互化要求整条式子齐次；次数不同时，替换后公因式不同，等式不再等价。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。