测量角度问题（方位角、仰角俯角的转化）

在 O 处测得 B 的方位角 30°、C 的方位角 150°，OB = 3 km，OC = 5 km

两条视线都从 O 出发，夹角 ∠BOC = |150° − 30°| = 120°

由余弦定理：BC² = OB² + OC² − 2·OB·OC·cos∠BOC

BC² = 9 + 25 − 2×3×5×cos120° = 34 + 15 = 49

答：BC = 7 km

由余弦定理的变形：cos∠OBC = (OB² + BC² − OC²)/(2·OB·BC)

cos∠OBC = (9 + 49 − 25)/(2×3×7) = 33/42 = 11/14

核对：BC = 7 是最长边，∠BOC = 120° 是最大角，对应得上

若改用正弦定理，sin∠OBC = OC·sin∠BOC/BC = 5√3/14，与 11/14 同源

sin² + cos² = (75/196) + (121/196) = 1，两条路一致

山顶 A 看地面上 B、C 两点的俯角分别为 30° 与 60°，B 离山脚 H 更远

B、C 与山脚 H 共线，BC = 100 m

俯角 30° 化成仰角：∠ABC = 30°（内错角相等）

俯角 60° 不能直接当内角：C 在 H 与 B 之间，射线 CB 与水平射线反向

所以 ∠ACB = 180° − 60° = 120°

∠BAC = 180° − 30° − 120° = 30°

正弦定理：AB/sin∠ACB = BC/sin∠BAC，即 AB/sin120° = 100/sin30°

AB = 100×sin120°/sin30° = 100√3 ≈ 173.2 (m)

直角三角形 ABH 中，h = AB·sin∠ABC = 100√3 × sin30° = 50√3

核对：BH − CH = h/tan30° − h/tan60° = 150 − 50 = 100 (m)，与 BC 相符